典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 题目 06 已知: f(x)=∫1xln(1+t)t dt 则: I=∫01f(x)x dx=? 解析 06 分母中存在根号是或许可以使用分部积分的一个标志: (x)′=12⋅1x⇒ I=∫01f(x)x dx=2∫01f(x) d(x)⇒ I=2[xf(x)|01−∫01xf′(x) dx]⇒ I=2[0−0−∫01x⋅ln(1+x)x dx]⇒ 再次用分部积分: I=−2∫01ln(1+x)x dx⇒ I=−2×2∫01ln(1+x) d(x)⇒ I=−4[xln(1+x)|01−∫01x11+x dx] I=−4[ln2−∫01x1+x dx] 对含有根号的部分做整体代换: t=x⇒t2=x⇒x∈(0,1)⇒t2∈(0,1)⇒ ∫01x1+x dx=∫01t1+t2⋅2t dt= 2∫01t21+t2 dt=2∫01t2+1−11+t2 dt= 2[∫011 dt−∫0111+t2 dt]= 2t|01−2arctant∣11=2−2(π4−0)= 2−π2⇒ 于是: I=−4[ln2−(2−π2)]⇒ I=−4ln2+8−2π 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10