典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

题目 06

已知:

f(x)=1xln(1+t)t dt

则:

I=01f(x)x dx=?

解析 06

分母中存在根号是或许可以使用分部积分的一个标志:

(x)=121x

I=01f(x)x dx=201f(x) d(x)

I=2[xf(x)|0101xf(x) dx]

I=2[0001xln(1+x)x dx]

再次用分部积分:

I=201ln(1+x)x dx

I=2×201ln(1+x) d(x)

I=4[xln(1+x)|0101x11+x dx]

I=4[ln201x1+x dx]

对含有根号的部分做整体代换:

t=xt2=xx(0,1)t2(0,1)

01x1+x dx=01t1+t22t dt=

201t21+t2 dt=201t2+111+t2 dt=

2[011 dt0111+t2 dt]=

2t|012arctant11=22(π40)=

2π2

于是:

I=4[ln2(2π2)]

I=4ln2+82π


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