典型例题汇总：定积分（奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现）

题目 05

已知：

$$f(x)=x-{\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x$$

则：

$$I={\int }_0^{\pi }f(x){\sin }^{4}x\mathrm{d}x=?$$

解析 05

解法一

令：

$$A={\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$f(x)=x-A\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{\pi }f(x){\sin }^{4}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }(x-A){\sin }^4\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^4\mathrm{d}x-A{\int }_0^{\pi }{\sin }^4\mathrm{d}x=$$

$$\frac{\pi }{2}\times 2\times {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^4\mathrm{d}x-A\times 2\times {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^4\mathrm{d}x=$$

$$\frac{\pi }{2}\times 2\times (\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})-2A\times (\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$I=(\pi -2A)\times \frac{3\pi }{16}$$

于是，把“未知”往“已知”的形式上凑：

$$f(x)=x-{\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$f(x)\cos x=x\cos x-\cos x{\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

两边同时积分：

$${\int }_0^{\pi }f(x)\cos x={\int }_0^{\pi }x\cos x\mathrm{d}x[{\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x]\cdot {\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x$$

$$A={\int }_0^{\pi }x\cos x\mathrm{d}x-A{\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x$$

又：

$${\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x={\sin x|}_0^{\pi }=(0-0)=0$$

$${\int }_0^{\pi }x\cos x\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}(\sin x)=$$

$${x\sin x|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\sin x\mathrm{d}x=-{\int }_0^{\pi }\sin x\mathrm{d}x=$$

$$-[-{\cos x|}_0^{\pi }]=\cos \pi -\cos 0=-1-1=-2\Rightarrow$$

于是：

$$A=-2-A\times 0\Rightarrow A=-2\Rightarrow$$

$$I=(\pi +4)\times \frac{3\pi }{16}.$$

解法二

$$f(x)=x-{\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$f(x)=x-{\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}(\sin x)\Rightarrow$$

$$f(x)=x-[{f(x)\cdot \sin x|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\sin x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$f(x)=x-[0-{\int }_0^{\pi }\sin x\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$f(x)=x+(-{\cos x|}_0^{\pi })\Rightarrow$$

$$f(x)=x+[-(-1-1)]\Rightarrow f(x)=x+2\Rightarrow$$

于是：

$$I={\int }_0^{\pi }f(x){\sin }^{4}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }(x+2){\sin }^{4}x\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{4}x\mathrm{d}x+2{\int }_0^{\pi }{\sin }^{4}x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi }{2}\times 2\times {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x\mathrm{d}x+2\times 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\pi \times (\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})+4\times (\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$I=(\pi +4)\times \frac{3\pi }{16}$$