典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 题目 04 I=∫02π11+cos2x dx 解析 04 I=4∫0π211+cos2x dx tan 与 cos 经常会联系在一起: (tanx)′=(sinxcosx)′=1cos2x⇒ 11+cos2x=1cos2x⋅11cos2x+1⇒ (tanx)′cos2x+sin2xcos2x+1=(tanx)′1+tan2x+1⇒ I=4∫0π212+tan2x d(tanx)⇒ I=4∫0π212[1+(tanx2)2]×2× d(tanx2)⇒ I=4×12×2∫0π211+(tanx2)2 d(tanx2)⇒ I=22arctan(tanx2)|0π2⇒ I=22arctank|k=0k=+∞⇒ I=22(π2−0)=2π 本题的一个错误求解步骤如下(错误的原因是 tanx 在位于区间 [0,2π] 内的 x=π2 和 x=3π2 处是没有定义的,不能直接在 [0,2π] 内整体积分): ∫02π d(tanx)2+tan2x=12arctan(tanx2)|02π 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10