典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

题目 04

I=02π11+cos2x dx

解析 04

I=40π211+cos2x dx

tancos 经常会联系在一起:

(tanx)=(sinxcosx)=1cos2x

11+cos2x=1cos2x11cos2x+1

(tanx)cos2x+sin2xcos2x+1=(tanx)1+tan2x+1

I=40π212+tan2x d(tanx)

I=40π212[1+(tanx2)2]×2× d(tanx2)

I=4×12×20π211+(tanx2)2 d(tanx2)

I=22arctan(tanx2)|0π2

I=22arctank|k=0k=+

I=22(π20)=2π

本题的一个错误求解步骤如下(错误的原因是 tanx 在位于区间 [0,2π] 内的 x=π2x=3π2 处是没有定义的,不能直接在 [0,2π] 内整体积分):

02π d(tanx)2+tan2x=12arctan(tanx2)|02π


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