题目 04
$$
I=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~ d} x
$$
解析 04
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I=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~ d} x
$$
$\tan$ 与 $\cos$ 经常会联系在一起：
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(\tan x)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x} \Rightarrow
$$
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\frac{1}{1+\cos ^{2} x}=\frac{1}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{2} x}+1} \Rightarrow
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$$
\frac{(\tan x)^{\prime}}{\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}+1}=\frac{(\tan x)^{\prime}}{1+\tan ^{2} x+1} \Rightarrow
$$
$$
I=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
$$
$$
I=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2\left[1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right]} \times \sqrt{2} \times \mathrm{~ d} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=4 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\left.2 \sqrt{2} \arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \Rightarrow
$$
$$
I=\left.2 \sqrt{2} \arctan k\right|_{k=0} ^{k=+\infty} \Rightarrow
$$
$$
I=2 \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\sqrt{2} \pi
$$
本题的一个错误求解步骤如下（错误的原因是 $\tan x$ 在位于区间 $[0, 2 \pi]$ 内的 $x = \frac{\pi}{2}$ 和 $x = \frac{3 \pi}{2}$ 处是没有定义的，不能直接在 $[0, 2 \pi]$ 内整体积分）：
$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~ d} (\tan x)}{2+\tan ^{2} x} = \left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)\right|_{0} ^{2 \pi}
$$