典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 题目 03 I=∫0πxcos2x−cos4x dx=? 解析 03 已知有如下公式: ∫0πxf(sinx) dx=π2∫0πf(sinx) dx 于是: I=∫0πxcos2−cos4x dx=∫0πxcos2x(1−cos2x) dx= ∫0πx(1−sin2x)sin2x dx=π2∫0π(1−sin2x)sin2x dx⇒ 又: x∈(0,π)⇒sinx>0⇒ I=π2∫0πsinx1−sin2x dx 在上面的计算中极易发生计算错误,主要原因是根号带有一定的绝对值效果,因此,去根号的时候,一定要注意验证正负性(下面的示例步骤是错误): I=π2∫0πsinxcos2x dx=π2∫0πsinxcosx dx= π2∫0πsinx d(sinx)=π2×12sin2x|0π= π4(0−0)=π4×0=0 正确的求解步骤为: I=π2∫0πsinxcos2x dx⇒ x∈(0,π2)⇒cosx>0,x∈(π2,π)⇒cosx<0⇒ I=π2∫0πsinx|cosx| dx⇒ I=π2∫0π2sinxcosx dx−π2∫π2πsinxcosx dx⇒ I=π2[∫0π2sinx d(sinx)−∫π2πsinx d(sinx)]⇒ I=π2[12sin2x|0π2−12sin2x|π2π]⇒ I=π2[12(1−0)−12(0−1)]⇒ I=π2(12+12)=π2 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10