典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

题目 03

I=0πxcos2xcos4x dx=?

解析 03

已知有如下公式:

0πxf(sinx) dx=π20πf(sinx) dx

于是:

I=0πxcos2cos4x dx=0πxcos2x(1cos2x) dx=

0πx(1sin2x)sin2x dx=π20π(1sin2x)sin2x dx

又:

x(0,π)sinx>0

I=π20πsinx1sin2x dx

在上面的计算中极易发生计算错误,主要原因是根号带有一定的绝对值效果,因此,去根号的时候,一定要注意验证正负性(下面的示例步骤是错误):

I=π20πsinxcos2x dx=π20πsinxcosx dx=

π20πsinx d(sinx)=π2×12sin2x|0π=

π4(00)=π4×0=0

正确的求解步骤为:

I=π20πsinxcos2x dx

x(0,π2)cosx>0,x(π2,π)cosx<0

I=π20πsinx|cosx| dx

I=π20π2sinxcosx dxπ2π2πsinxcosx dx

I=π2[0π2sinx d(sinx)π2πsinx d(sinx)]

I=π2[12sin2x|0π212sin2x|π2π]

I=π2[12(10)12(01)]

I=π2(12+12)=π2


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