典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

题目 02

I=02x2xx2 dx=?

解析 02

先尝试整体代换,但仍然会产生根号,故行不通:

t=2xx2t2=2xx2

于是尝试用三角代换去根号,但本题根号下的部分不是“一个常数和一个变量之间加减”这种可以用三角代换的常见形式,因此,首先尝试引入平方项的方式进行变形:

2xx2(x1)2=x2+12x

(x1)2=2xx21

(x1)2+1=2xx2

于是:

I=02x1(x1)2 dx

接下来有两种方法处理上面的式子。

第一种方法是凑微分:

I=02[(x1)+1]1(x1)2 dx=

02(x1)1(x1)2 dx+021(x1)2 dx

其中:

02(x1)1(x1)2 dx=11(x1)1(x1)2 d(x1)

令:

t=x111t1t2 dt 奇函数 

11t1t2 dt=0

于是:

I=1(x1)2 dx

若:

y=1(x1)2

y2=1(x1)2(x1)2+y2=1

于是,由几何意义可知:

I=12×πr2=12×π=π2

第二种方法是用三角代换去根号:

I=02x1(x1)2 dx

令:

x1=sint

1(x1)2=1sin2t=cos2t

x=1+sint dx=cost dt

sint(1,1)t(π2,π2)

于是:

I=π2π2(1+sint)costcost dt

I=π2π2(cos2t+sintcos2t) dt

根据奇偶性:

I=π2π2cos2t dt=20π2cos2t dt

I=2×12×π2=π2


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress