题目 02
$$
I=\int_{0}^{2} x \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 02
先尝试整体代换，但仍然会产生根号，故行不通：
$$
t=\sqrt{2 x-x^{2}} \Rightarrow t^{2}=2 x-x^{2}
$$
于是尝试用三角代换去根号，但本题根号下的部分不是“一个常数和一个变量之间加减”这种可以用三角代换的常见形式，因此，首先尝试引入平方项的方式进行变形：
$$
2 x-x^{2} \Rightarrow(x-1)^{2}=x^{2}+1-2 x \Rightarrow
$$
$$
-(x-1)^{2}=2 x-x^{2}-1 \Rightarrow
$$
$$
-(x-1)^{2}+1=2 x-x^{2} \Rightarrow
$$
于是：
$$
\textcolor{springgreen}{
I=\int_{0}^{2} x \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x
}
$$
接下来有两种方法处理上面的式子。
第一种方法是凑微分：
$$
I=\int_{0}^{2}[(x-1)+1] \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{2}(x-1) \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{2} \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x
$$
其中：
$$
\int_{0}^{2}(x-1) \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x=\int_{-1}^{1}(x-1) \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} (x-1)
$$
令：
$$
t=x-1 \Rightarrow \int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow \text{ 奇函数 } \Rightarrow
$$
$$
\int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \mathrm{~ d} t = 0
$$
于是：
$$
I=\sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x
$$
若：
$$
y=\sqrt{1-(x-1)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
y^{2}=1-(x-1)^{2} \Rightarrow(x-1)^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow
$$
于是，由几何意义可知：
$$
I = \frac{1}{2} \times \pi r^{2}=\frac{1}{2} \times \pi=\frac{\pi}{2}
$$
第二种方法是用三角代换去根号：
$$
I=\int_{0}^{2} x \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
令：
$$
x-1=\sin t \Rightarrow
$$
$$
1-(x-1)^{2}=1-\sin ^{2} t=\cos ^{2} t \Rightarrow
$$
$$
x=1+\sin t \Rightarrow \mathrm{~ d} x=\cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
\sin t \in(-1,1) \Rightarrow t \in\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
$$
于是：
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin t) \cdot \cos t \cdot \cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{2} t+\sin t \cos ^{2} t\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
根据奇偶性：
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}
$$