典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 题目 02 I=∫02x2x−x2 dx=? 解析 02 先尝试整体代换,但仍然会产生根号,故行不通: t=2x−x2⇒t2=2x−x2 于是尝试用三角代换去根号,但本题根号下的部分不是“一个常数和一个变量之间加减”这种可以用三角代换的常见形式,因此,首先尝试引入平方项的方式进行变形: 2x−x2⇒(x−1)2=x2+1−2x⇒ −(x−1)2=2x−x2−1⇒ −(x−1)2+1=2x−x2⇒ 于是: I=∫02x1−(x−1)2 dx 接下来有两种方法处理上面的式子。 第一种方法是凑微分: I=∫02[(x−1)+1]1−(x−1)2 dx= ∫02(x−1)1−(x−1)2 dx+∫021−(x−1)2 dx 其中: ∫02(x−1)1−(x−1)2 dx=∫−11(x−1)1−(x−1)2 d(x−1) 令: 奇函数t=x−1⇒∫−11t1−t2 dt⇒ 奇函数 ⇒ ∫−11t1−t2 dt=0 于是: I=1−(x−1)2 dx 若: y=1−(x−1)2⇒ y2=1−(x−1)2⇒(x−1)2+y2=1⇒ 于是,由几何意义可知: I=12×πr2=12×π=π2 第二种方法是用三角代换去根号: I=∫02x1−(x−1)2 dx⇒ 令: x−1=sint⇒ 1−(x−1)2=1−sin2t=cos2t⇒ x=1+sint⇒ dx=cost dt⇒ sint∈(−1,1)⇒t∈(−π2,π2) 于是: I=∫−π2π2(1+sint)⋅cost⋅cost dt⇒ I=∫−π2π2(cos2t+sintcos2t) dt⇒ 根据奇偶性: I=∫−π2π2cos2t dt=2∫0π2cos2t dt⇒ I=2×12×π2=π2 页码: 页 1, 页 2, 页 3, 页 4, 页 5, 页 6, 页 7, 页 8, 页 9, 页 10