典型例题汇总：定积分（奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现）

一、前言

在本文中，荒原之梦网汇总了涉及考研数学定积分的典型例题，覆盖了绝大部分考研数学一重定积分部分常见的解题方法。

每页一道题，点击下方页码可以切换。

题目 01

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}x+{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t){\sin }^{2}x\mathrm{d}x=?$$

解析 01

遇到对称的积分上下限，先看一下是否有奇偶性可用：

$$e^{-t^2}\Rightarrow \text{ 偶函数 }\Rightarrow {\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\Rightarrow \text{ 奇函数}$$

于是：

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left[{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}x=0\Rightarrow$$

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x$$

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=2(1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$I=2\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{8}$$