套娃式题目怎么做？先“套”几个看看

一、题目

已知，$1<a \leqslant \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$, $x_{1}=a, x_{2}=a^{x_{1}}, \cdots, x_{n}=a^{x_{n-1}}, \cdots$, 则数列 $\{ x_{n} \}$ 增减性如何？有极限吗？

难度评级：

二、解析

方法一：特例+找规律

$$
a=e^{\frac{1}{e}} \Rightarrow x_{1}=e^{\frac{1}{e}} \Rightarrow x_{2}=\left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}} \Rightarrow
$$

$$
x_{2}=e^{\frac{1}{e}} \cdot e^{\frac{1}{e}} \Rightarrow x_{3}=e^{\frac{1}{e}} \cdot e^{\frac{1}{e}} \cdot e^{\frac{1}{e}}
$$

$$
e^{\frac{1}{e}}>1 \Rightarrow e^{\frac{1}{e} \cdot e^{\frac{1}{e}}}>e^{\frac{1}{e}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\frac{1}{e} \cdot e^{\frac{1}{e}} \cdot e^{\frac{1}{e}} } > e^{\frac{1}{e} \cdot e^{\frac{1}{e}}}
$$

$$
x_{n}=e^{\frac{1}{e} \cdot e^{\frac{1}{e^{n-1}}} } < e
$$

$$
\frac{1}{e} \cdot e^{\frac{1}{e^{n-1}}}<1 \Rightarrow
$$

数列 $\{ x_{n} \}$ 单调递增有极限。

方法二：定义

$$
a>1 \Rightarrow x_{2}=a^{x_{1}}>a=x_{1} \Rightarrow
$$

$$
x_{2}>1 \Rightarrow
$$

$$
x_{3}=a^{x_{2}}>x_{2}>1 \Rightarrow
$$

$$
x_{n}>x_{n-1}
$$

$$
a \leq e^{\frac{1}{e}} \Rightarrow x_{1}=a \leq e \Rightarrow
$$

若设 $x_{n}<e$, 则：

$$
x_{n+1}=a^{x_{n}} \leqslant e
$$

因此，数列 $\{ x_{n} \}$ 单调递增有极限。

---