可降解的微分方程的主要特征：式子中没有 x

一、题目

微分方程 $y{y}^{\prime \prime }+2{\left(y^{\prime }\right)}^2=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ 的特解是多少？

难度评级：

二、解析

由于 $y{y}^{\prime \prime }+2{\left(y^{\prime }\right)}^2=0$ 不显含 $x$, 符合可分离变量微分方程的特征，因此，令：

$$p=y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

即：

$$y^{\prime }=p(y)$$

Tips:

可以把 $p$ 看做是一个复合函数，即 $p(y)$ 是 $y$ 的函数，$y(x)$ 是 $x$ 的函数。

进而：

$$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p$$

将上面得到的式子代入 $y{y}^{\prime \prime }+2{\left(y^{\prime }\right)}^2=0$, 可得：

$$yp\cdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+2p^2=0$$

若要使上式成立，则必有：

$$y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+2p=0$$

或者：

$$p=0$$

但由于 $p=-y^{\prime }=0\ne -1$, 因此 $p=0$ 不成立。

接着进行变量分离：

$$y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+2p=0\Rightarrow$$

$$\frac{y\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=\frac{-2p}{1}\Rightarrow$$

$$y\mathrm{d}p=-2p\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-2\mathrm{d}y}{y}\Rightarrow$$

Tips:

在分离变量的时候，要把微分符号 $\mathrm{d}$ 放在分子上，而不是分母上，这样才有利于接下来的积分运算。

例如，我们不能把 $y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+2p=0$ 分离成 $\frac{y}{\mathrm{d}y}+\frac{2p}{\mathrm{d}p}=0$ 这样的形式。

等号两边同时积分：

$$\int \frac{1}{p}\mathrm{d}p=-2\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$\ln |p|+2\ln |y|=\ln |C_1|\Rightarrow$$

$$\ln |p|+\ln y^2=\ln |C_1|\Rightarrow$$

$$p+y^2=C_1\Rightarrow$$

$$p=\frac{C_1}{y^2}\Rightarrow$$

又 $x=0$ 时，$y=1$, $p=y^{\prime }=-1$, 于是：

$$-1=\frac{C_1}{1}\Rightarrow C_1=-1$$

于是：

$$p=\frac{-1}{y^2}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{-1}{y^2}\Rightarrow$$

$$y^2\mathrm{d}y=-\mathrm{d}x\Rightarrow$$

两边同时积分：

$$\int y^2\mathrm{d}y+\int \mathrm{d}x=C_2\Rightarrow$$

$$\frac{1}{3}{y}^3+x=C_2$$

又 $x=0$ 时 $y=1$, 于是：

$$C_2=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{3}{y}^3+x=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$y^3+3x=1\Rightarrow$$

$$y=\sqrt[3]{1-3x}$$

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