这道题中的矩阵虽然很“宽”，但其实是一个单列矩阵

一、题目

已知，矩阵 $\mathit{A}$ 满足对任意 $x_1,x_2,x_3$ 均有 $\mathit{A}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right)$. 请求解以下两个问题：
[1]. 求 $A$;

[2]. 求可逆矩阵 $\mathit{P}$ 与对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$, 使得 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\mathbf{\Lambda }$.

难度评级：

二、解析

[1]

$$A\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right]$$

这里需要注意的是，$\left[\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right]$ 是一个只有一列的矩阵。

[2]

首先求解特征值：

$$|\lambda E–A|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -1& -1\\ -2& \lambda +1& -1\\ 0& -1& \lambda +1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1{)}^2(\lambda -1)-2-2(\lambda +1)-(r-1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1)[(\lambda +1)(\lambda -1)-2]-(\lambda -1)-2=0$$

$$(\lambda +1)({\lambda }^2-3)-(r+1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1)({\lambda }^2-4)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda -2)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=2$$

接着，分别求解特征值对应的特征向量。

求解 ${\lambda }_1=-1$ 对应的特征向量 ${\alpha }_1$:

$$({\lambda }_{1}E-A)x=0\Rightarrow ({\lambda }_{1}E-A)=$$

$$\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ -2& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -2& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{2}\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

求解 ${\lambda }_2=-2$ 对应的特征向量 ${\alpha }_2$:

$$({\lambda }_{2}E-A)=\left[\begin{array}{ccc}-3& -1& -1\\ -2& -1& -1\\ 0& -1& -1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -2& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$

求解 ${\lambda }_3=2$ 对应的特征向量 ${\alpha }_3$:

$$\left({\lambda }_{3}E–A\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -2& 3& -1\\ 0& -1& 3\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -4\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{l}4\\ 3\\ 1\end{array}\right)$$

综上可得：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{2}& 0& 4\\ 0& -1& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}-1& & \\ & -2& \\ & & 2\end{array}\right]$$

---