什么是“前充分后必要”？什么是“小充分大必要”？这道题体现得淋漓尽致

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,4,7,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6, a, 6)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,1,3, a)^{\mathrm{\top}}$, 那么 $a=8$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 3 & 7 & a & 3 \\ 1 & -1 & 6 & a\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & a-6 & 3 \\ 0 & -4 & 4 & a\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}-2 & 2 & 1 \\ 0 & a-8 & 2 \\ 0 & 0 & a-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
-2\left|\begin{array}{cc}a-8 & 2 \\ 0 & a-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
a=8 \text { 或者 } \quad a=2
$$

综上可知：

由 $a=8$ 能推出 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关；

由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关能推出 $a = 8$ 或者 $a = 2$.

因此，由“前充分后必要，小充分大必要”可知，$a=8$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关的【充分非必要】条件。

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