通过二次型的正惯性指数确定变量的取值范围

一、题目

已知，二次型 $a x_{1}^{2}+(2 a-1) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$
的正惯性指数 $p=1$. 则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

此类问题没有特殊技巧，按照通常的求解特征值的步骤计算即可。

由题可知：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}a & -1 & a \\ -1 & 2 a-1 & -1 \\ a & -1 & a\end{array}\right]
$$

则：

$$
|\lambda E – A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a & 1 & -a \\ 1 & \lambda-2 a+1 & 1 \\ -a & 1 & \lambda-a\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & -\lambda \\ 1 & \lambda-2 a+1 & 1 \\ -a & 1 & \lambda-a\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 1 & \lambda-2 a+1 & 2 \\ -a & 1 & \lambda-2 a\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda(\lambda-2 a+1)(\lambda-2 a)-2 \lambda=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda[(\lambda-2 a+1)(\lambda-2 a)- \textcolor{orange}{2}]=0
$$

为了将上式中的 “$\textcolor{orange}{2}$” 凑到乘法中，我们可以令：

$$
B=\lambda-2 a
$$

则：

$$
(B+1) B-2=B^{2}+B-2=
$$

$$
(B+2)(B-1)
$$

于是：

$$
\lambda[(\lambda-2 a+1)(\lambda-2 a)- \textcolor{orange}{2}]=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda [(\lambda – 2 a+2)(\lambda-2 a-1)]=0 \Rightarrow
$$

$$
r_{1}=0, \quad r_{2}=2 a-2, \quad r_{3}=2 a+1
$$

又由于 $2(a-1)$ 一定小于 $2a+1$, 且 $p=1$, 因此：

$$
\left\{\begin{array}{l}2 a-2 \leqslant 0 \\ 2 a+1>0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a \leq 1 \\ a>\frac{-1}{2}\end{array} \Rightarrow\right.\right.
$$

$$
a \in\left(\frac{-1}{2}, 1\right].
$$

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