通过二次型的正惯性指数确定变量的取值范围

一、题目

已知，二次型 $a x_{1}^{2} + (2 a - 1) x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 a x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}$
的正惯性指数 $p = 1$ . 则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

Tips:

此类问题没有特殊技巧，按照通常的求解特征值的步骤计算即可。

由题可知：

$A = [\begin{array}{ccc} a & - 1 & a \\ - 1 & 2 a - 1 & - 1 \\ a & - 1 & a \end{array}]$

则：

$| λ E - A | = 0 \Rightarrow$

$| \begin{array}{ccc} λ - a & 1 & - a \\ 1 & λ - 2 a + 1 & 1 \\ - a & 1 & λ - a \end{array} | = 0 \Rightarrow$

$| \begin{array}{ccc} λ & 0 & - λ \\ 1 & λ - 2 a + 1 & 1 \\ - a & 1 & λ - a \end{array} | = 0 \Rightarrow$

$| \begin{array}{ccc} λ & 0 & 0 \\ 1 & λ - 2 a + 1 & 2 \\ - a & 1 & λ - 2 a \end{array} | = 0 \Rightarrow$

$λ (λ - 2 a + 1) (λ - 2 a) - 2 λ = 0 \Rightarrow$

$λ [(λ - 2 a + 1) (λ - 2 a) - 2] = 0$

为了将上式中的 “ $2$ ” 凑到乘法中，我们可以令：

$B = λ - 2 a$

则：

$(B + 1) B - 2 = B^{2} + B - 2 =$

$(B + 2) (B - 1)$

于是：

$λ [(λ - 2 a + 1) (λ - 2 a) - 2] = 0 \Rightarrow$

$λ [(λ - 2 a + 2) (λ - 2 a - 1)] = 0 \Rightarrow$

$r_{1} = 0, r_{2} = 2 a - 2, r_{3} = 2 a + 1$

又由于 $2 (a - 1)$ 一定小于 $2 a + 1$ , 且 $p = 1$ , 因此：

${\begin{cases} 2 a - 2 ⩽ 0 \\ 2 a + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a \leq 1 \\ a > \frac{- 1}{2} \end{cases} \Rightarrow$

$a \in (\frac{- 1}{2}, 1] .$