这个式子中隐藏着可微的判别公式，你能找到吗？

一、题目

已知 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，且 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x,y)-1}{x^2+y^2}=2$, 则 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微吗？偏导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}$ 等于多少？

难度评级：

二、解析

方法一：特例法

令：

$$f(x,y)-1=2(x^2+y^2)\Rightarrow$$

$$f(x,y)=2(x^2+y^2)+1\Rightarrow$$

则：

$$f(x,0)=2x^2+1\Rightarrow f_x^{\prime }(x,0)=4x\Rightarrow$$

$$f_x^{\prime }(0,0)=0$$

且：

$$f^{\prime }(0,y)=2y^2+1\Rightarrow f_y^{\prime }(0,y)=4y\Rightarrow$$

$$f_y^{\prime }(0,0)=0$$

同时，函数 $f(x,y)=2(x^2+y^2)+1$ 在点 $(0,0)$ 处显然可微。

方法二：公式法

首先：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-1}{x^2+y^2}=2\Rightarrow$$

$$\because \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}(x^2+y^2)=0$$

$$\therefore \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}[f(x,y)-1]=0\Rightarrow$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=1$$

又由题目已知的 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续可知，一定有：

$$f(0,0)=1$$

接着，当 $x\to 0,y\to 0$ 时：

$$\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=2\Rightarrow$$

$$f(x,y)-f(0,0)=2(x^2+y^2)$$

若令：

$$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$

则 $(x^2+y^2)$ 就是 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 的高阶无穷小，即：

$$2(x^2+y^2)=o(\rho )\Rightarrow$$

$$f(x,y)-f(0,0)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \mathrm{\Delta }y+o(\rho )\Rightarrow$$

$$f(x,y)-f(0,0)=0\cdot \mathrm{\Delta }x+0\cdot \mathrm{\Delta }y+o(\phi )=o(\phi )$$

综上可知，$f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0$.

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