带有三角函数的积分一般可以尝试配方法，但一般不要将三角函数放到微分符号 d 中

一、题目

$I = \int_{- 1}^{1} x \arcsin x d x = ?$

难度评级：

$I = \int_{- 1}^{1} x \arcsin x d x =$

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \arcsin x d (x^{2})$

$\frac{1}{2} [{x^{2} \arcsin x |}_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x] =$

$\frac{1}{2} [1 \times \frac{π}{2} - (- 1 \times \frac{- π}{2}) - \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x] \Rightarrow$

$I = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x =$

$\frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x =$

借助三角代换去根号：

$x = \sin t \Rightarrow x \in (0, 1) \Rightarrow$

$t \in (0, \frac{π}{2}) \Rightarrow d x = \cos t d t \Rightarrow$

$\sqrt{1 - x^{2}} = \cos t$

于是：

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} t}{\cos t} \cos t d t \Rightarrow$

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

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