错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简

一、题目

二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}$ $=$ $a{x}_1^2+a{x}_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$ 经正交变换化为标准形 $3y_1^2-y_3^2$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

错误的解法

错误原因：先对二次型矩阵 $A$ 进行了化简后，又代入了 $|\lambda E–A|=0$ 这个公式求特征值。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}a& -1& 1\\ -1& a& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

化简（注意：先化简是错误的）：

$$\left[\begin{array}{ccc}a-1& a-1& 0\\ 0& a-1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|\lambda E-N|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a+1& 1-a& 0\\ 0& \lambda -a+1& -1\\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -a+1{)}^2+(1-a)+(\lambda -a+1)=0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\lambda }_1=3\Rightarrow (4-a{)}^2+(1-a)+(4-a)=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\lambda }_2=0\Rightarrow -2(1-a{)}^2+(1-a)+(1-a)=0\end{array}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(3)}& \\ {r}_3=-1\Rightarrow -3(-a{)}^2+(1-a)+(-a)=0\end{array} \end{gathered}$$

由于该计算方法有问题，因此，计算到这一步我们会发现，我们无法找到一个 $a$ 的具体取值，使得上面 $(1)$, $(2)$, $(3)$ 三个式子都成立。

正确的解法一（求解速度较慢）

$$A=\left[\begin{array}{ccc}a& -1& 1\\ -1& a& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|\lambda z-\lambda |=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 1& -1\\ 1& \lambda -a& 1\\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a+1& \lambda -a+1& 0\\ 0& \lambda -a+1& \lambda -1\\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=$$

$$(\lambda -2)(\lambda -a+1{)}^2-2(\lambda -1)(\lambda -a+1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -a+1)[(\lambda -2)(\lambda -a+1)-2(\lambda -1)]=0$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\lambda }_1=3\Rightarrow (4-a)[(4-a)-4]=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\lambda }_2=0\Rightarrow (1-a)[-2(1-a)+2]=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\lambda }_3=-1\Rightarrow (-a)[-3(-a)+4]=0\end{array}$$

联立 $(1)$, $(2)$, $(3)$ 式可得：

$$a=0$$

正确的解法二（求解速度较快）

Tips:

该解法中用到的 $\sum a_{ii}=\sum {\lambda }_i$ 的性质及一些其他常用性质可以在《秩为 1 的矩阵的一些性质》这篇文章中找到。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}a& -1& 1\\ -1& a& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}a-1& a-1& 0\\ 0& a-1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|A|=2(a-1{)}^2+2(a-1)=0\Rightarrow$$

$$|A|=(a-1)[2(a-1)+2]=0\Rightarrow$$

$$|A|=(a-1)\cdot 2a=0\Rightarrow$$

$$a=1\text{ 或者 }a=0$$

又：

$$a+a+2={\pi }_1+{\lambda }_2+{\pi }_3=3+0-1=2\Rightarrow$$

$$a\ne 1\Rightarrow$$

$$a=0$$

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