这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？

一、题目

已知 $a>0$, 则 $I={\int }_{-a}^a$ $\sqrt{a^2-x^2}\ln \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{3}\mathrm{d}x$ $=?$

难度评级：

二、解析

注意：一旦积分区间对称，就要想一想被积函数或者被积函数的一部分是否是奇函数或者偶函数（先验证是否是奇函数，因为一旦发现是奇函数，可以极大的简化计算步骤）。

$$I={\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\ln \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{3}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}[\ln (x+\sqrt{1+x^2})-\ln 3]\mathrm{d}x=$$

$${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\ln (x+\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x-\ln 3{\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=$$

又：

$$x=0\Rightarrow \ln [0+\sqrt{1+0}]=\ln 1=0$$

$$-\ln [-x+\sqrt{1+x^2}]=\ln {[\sqrt{1+x^2}-x]}^{-1}=$$

$$\ln \left[\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{1+x^2-x^2}\right]=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

因此，$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 是一个奇函数，即：

$${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\ln (x+\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x=0$$

于是：

$$I=-\ln 3{\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$$

又：

$$y=\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow$$

$$y^2+x^2=a^2$$

因此，$y=\sqrt{a^2-x^2}$ 是一个圆心位于 $(0,0)$ 点处，半径为 $a$ 的上半圆，于是：

$${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\pi a^2$$

综上可知：

$$I=\frac{-1}{2}\pi a^2\cdot \ln 3$$

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