这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？

一、题目

已知 $a>0$, 则 $I=\int_{-a}^{a}$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x$ $=?$

难度评级：

二、解析

注意：一旦积分区间对称，就要想一想被积函数或者被积函数的一部分是否是奇函数或者偶函数（先验证是否是奇函数，因为一旦发现是奇函数，可以极大的简化计算步骤）。

$$
I=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\ln 3\right] \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} x-\ln 3 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~ d} x =
$$

又：

$$
x=0 \Rightarrow \ln [0+\sqrt{1+0}]=\ln 1=0
$$

$$
-\ln \left[-x+\sqrt{1+x^{2}}\right]=\ln \left[\sqrt{1+x^{2}}-x\right]^{-1}=
$$

$$
\ln \left[\frac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{1+x^{2}-x^{2}}\right]=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)
$$

因此，$\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ 是一个奇函数，即：

$$
\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} x=0
$$

于是：

$$
I=-\ln 3 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~ d} x
$$

又：

$$
y=\sqrt{a^{2}-x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{2}+x^{2}=a^{2}
$$

因此，$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 是一个圆心位于 $(0,0)$ 点处，半径为 $a$ 的上半圆，于是：

$$
\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \pi a^{2}
$$

综上可知：

$$
I=\frac{-1}{2} \pi a^{2} \cdot \ln 3
$$

---