若要使 n 个 n 维向量可以表示任意一个 n 维向量，这 n 个 n 维向量必须线性无关

一、题目

若对于任意的 $b={(b_1,b_2,b_3)}^{\mathrm{\top }}$, 方程组 $\{\begin{array}{l}2x_1+\lambda x_2-x_3=b_1\\ \lambda x_1-x_2+x_3=b_2\\ 4x_1+5x_2-5x_3=b_3\end{array}$ 总有解，则 $\lambda$ 应满足什么条件？

难度评级：

二、解析

系数矩阵为：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& \lambda & -1\\ \lambda & -1& 1\\ 4& 5& -5\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& \lambda & -1\\ \lambda & -1& 1\\ 0& 5-2\lambda & -3\end{array}\right]$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda +2& \lambda -1& 0\\ \lambda & -1& 1\\ 0& 5-2\lambda & -3\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda +2& \lambda -1& 0\\ \lambda & 0& 1\\ 0& 2-2\lambda & -3\end{array}\right]$$

于是：

$$|A|=3\lambda (\lambda -1)-2(\lambda +2)(1-\lambda )=0\Rightarrow$$

$$3\lambda (\lambda -1)+2(\lambda +2)(\lambda -1)=0\Rightarrow$$

$$\begin{gathered} (\lambda -1)[3\lambda +2(\lambda +2)]=0 \\ (\lambda -1)(5\lambda +4)=0\Rightarrow \end{gathered}$$

$$\lambda =1,\lambda =\frac{-4}{5}$$

因此，满足题意的答案为：

$$\lambda \ne 1,\lambda \ne \frac{-4}{5}$$

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