只有零解的齐次线性方程组的系数矩阵对应的行列式一定不等于零

一、题目

已知齐次方程组 $\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
\end{array}\right.$ 只有零解，则 $\lambda$ 满足什么条件。

难度评级：

二、解析

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)^{2} \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda \neq 1
$$

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