三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?

一、题目

已知向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,0,1,2{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(1,1,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(2,-1,a,5{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性相关，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)<3$$

于是：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& -1\\ 1& 3& a\\ 2& 1& 5\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 2& a-2\\ 2& -1& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 2& a\\ 2& -1& 0\end{array}\right]$$

因此，只有当 $a=0$ 时，才有：

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2<3$$

因此：

$$a=0.$$

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