一、题目
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,-1, a, 5)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $a=?$
难度评级：
二、解析 
由题可知：
$$
r(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) < 3
$$
于是：
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & a \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & a-2 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right]
$$
因此，只有当 $a=0$ 时，才有：
$$
r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=2<3
$$
因此：
$$
a = 0.
$$
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