这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

则：

$$
x=0 \Rightarrow f(0)=1
$$

由于 $f(x)$ 连续，因此一阶可导：

$$
f(x)=\cos 2 x-4 x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t+4 \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x-4 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t-4 x f(x) + 4 x f(x) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x-4 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

于是：

$$
x=0 \Rightarrow f^{\prime}(0)=0 \Rightarrow
$$

继续分析可知，$f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x-4 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 中，等号右边的式子显然可导，因此 $f(x)$ 二阶可导：

$$
f^{\prime \prime}(x)=-4 \cos 2 x-4 f(x) \Rightarrow
$$

将 $f(x)$ 用 $y$ 表示，以使表达式更清晰：

$$
y^{\prime \prime}+4 y=-4 \cos 2 x \tag{1}
$$

很明显，上面的式子 (1) 是一个二阶常系数非齐次微分方程。为了求解该微分方程，我们首先需要计算其特征根：

$$
\lambda^{2}+4=0 \Rightarrow \lambda=0 \pm 2 i
$$

进而可知，该非齐次微分方程的特解为：

$$
y^{*}=x^{k} e^{2 x}\left(Q_{n}(x) \cos \beta x+W_{n}(x) \sin \beta x\right) \Rightarrow
$$

$$
k=1, \ \alpha=0, \ \beta=2, \ Q_{n}(x)=A, \ W_{n}(x)=B \Rightarrow
$$

$$
y ^{*} = x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)
$$

为了接下来的求导方便，我们令 $\bar{y}=A \cos 2 x+B \sin 2 x$, 则：

$$
y^{*}=x \bar{y} \Rightarrow
$$

$$
y^{* \prime}=\bar{y} + x \bar{y}^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
y^{* \prime \prime}=\bar{y}^{\prime}+\bar{y}^{\prime}+x \bar{y}^{\prime \prime}=2 \bar{y}^{\prime \prime}+x \bar{y}^{\prime \prime}
$$

于是：

$$
(y^{*})^{\prime \prime}+4\left(y^{*}\right)=-4 \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
2 \bar{y}^{\prime}+x \bar{y}^{\prime \prime}+4 x \bar{y}^{\prime} = -4 \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
x\left(\bar{y}^{\prime \prime}+4 \bar{y}\right)+2 \bar{y}^{\prime} = -4 \cos 2 x.
$$

又：

$$
\bar{y}^{\prime}=-2 A \sin 2 x+2 B \cos 2 x.
$$

$$
\bar{y}^{\prime \prime}=-4 A \cos 2 x – 4 B \sin 2 x .
$$

$$
4 \bar{y}^{\prime}=4 A \cos 2 x+4 B \sin 2 x .
$$

于是：

$$
x\left(\bar{y}^{\prime \prime}+4 \bar{y}\right)+2 \bar{y}^{\prime}=2 \bar{y}^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
2 \bar{y}^{\prime}=-4 \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
2(-2 A \sin 2 x+2 B \cos 2 x)=-4 \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
A=0, \quad B=-1
$$

因此，该非齐次微分方程的通解为（非齐特 = 齐通 + 非齐特）：

$$
Y = -x \sin 2 x+C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x
$$

又：

$$
f(0) = y(0)=1 \Rightarrow C_{1}=1
$$

且：

$$
f^{\prime}(0) = y^{\prime}(0)=0 \Rightarrow 2 C_{2} \cos 2 x=0 \Rightarrow C_{2}=0
$$

综上可知：

$$
f(x) = Y = \cos 2 x – x \sin 2 x
$$

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