这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2x-4{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$f(x)=\cos 2x-4{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

则：

$$x=0\Rightarrow f(0)=1$$

由于 $f(x)$ 连续，因此一阶可导：

$$f(x)=\cos 2x-4x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+4{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=-2\sin 2x-4{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-4xf(x)+4xf(x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=-2\sin 2x-4{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

于是：

$$x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0\Rightarrow$$

继续分析可知，$f^{\prime }(x)=-2\sin 2x-4{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 中，等号右边的式子显然可导，因此 $f(x)$ 二阶可导：

$$f^{\prime \prime }(x)=-4\cos 2x-4f(x)\Rightarrow$$

将 $f(x)$ 用 $y$ 表示，以使表达式更清晰：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y^{\prime \prime }+4y=-4\cos 2x\end{array}$$

很明显，上面的式子 (1) 是一个二阶常系数非齐次微分方程。为了求解该微分方程，我们首先需要计算其特征根：

$${\lambda }^2+4=0\Rightarrow \lambda =0\pm 2i$$

进而可知，该非齐次微分方程的特解为：

$$y^{\ast }=x^k{e}^{2x}(Q_n(x)\cos \beta x+W_n(x)\sin \beta x)\Rightarrow$$

$$k=1,\alpha =0,\beta =2,Q_n(x)=A,W_n(x)=B\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=x(A\cos 2x+B\sin 2x)$$

为了接下来的求导方便，我们令 $\overline{y}=A\cos 2x+B\sin 2x$, 则：

$$y^{\ast }=x\overline{y}\Rightarrow$$

$$y^{\ast \prime }=\overline{y}+x{\overline{y}}^{\prime }\Rightarrow$$

$$y^{\ast \prime \prime }={\overline{y}}^{\prime }+{\overline{y}}^{\prime }+x{\overline{y}}^{\prime \prime }=2{\overline{y}}^{\prime \prime }+x{\overline{y}}^{\prime \prime }$$

于是：

$$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }+4\left(y^{\ast }\right)=-4\cos 2x\Rightarrow$$

$$2{\overline{y}}^{\prime }+x{\overline{y}}^{\prime \prime }+4x{\overline{y}}^{\prime }=-4\cos 2x\Rightarrow$$

$$x({\overline{y}}^{\prime \prime }+4\overline{y})+2{\overline{y}}^{\prime }=-4\cos 2x.$$

又：

$${\overline{y}}^{\prime }=-2A\sin 2x+2B\cos 2x.$$

$${\overline{y}}^{\prime \prime }=-4A\cos 2x–4B\sin 2x.$$

$$4{\overline{y}}^{\prime }=4A\cos 2x+4B\sin 2x.$$

于是：

$$x({\overline{y}}^{\prime \prime }+4\overline{y})+2{\overline{y}}^{\prime }=2{\overline{y}}^{\prime }\Rightarrow$$

$$2{\overline{y}}^{\prime }=-4\cos 2x\Rightarrow$$

$$2(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)=-4\cos 2x\Rightarrow$$

$$A=0,B=-1$$

因此，该非齐次微分方程的通解为（非齐特 = 齐通 + 非齐特）：

$$Y=-x\sin 2x+C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$$

又：

$$f(0)=y(0)=1\Rightarrow C_1=1$$

且：

$$f^{\prime }(0)=y^{\prime }(0)=0\Rightarrow 2C_2\cos 2x=0\Rightarrow C_2=0$$

综上可知：

$$f(x)=Y=\cos 2x–x\sin 2x$$

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