已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数

一、题目

已知 $y^{*}$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ $+$ $(x^{2}$ $+$ $2) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $a y^{\prime}$ $+$ $b y$ $=$ $(c x + d) \mathrm{e}^{x}$ 的一个解，方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是多少？

难度评级：

二、解析

方法一：利用解的性质推测

首先，写出特征根 $\lambda$ 的表达式：

$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+a \lambda + b=0
$$

由于 $y^{*}=e^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) e^{x}$ 是所给二阶微分方程的一个解：

$$
y^{*}=e^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{*}=e^{-2 x}+2 e^{x}+x^{2} e^{x}.
$$

由于齐次微分方程的通解中不可能存在 $x^{2}$, 因此，$x^{2} e^{x}$ 一定来自非齐次微分方程的特解，而【线性无关】的 $e^{-2x}$ 和 $2e^{x}$ 一定来自齐次微分方程的通解。于是：

$$
\lambda_{1}=-2, \ \lambda_{2}=1
$$

进而：

$$
(\lambda + 2)(\lambda – 1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2} + \lambda – 2=0 \Rightarrow
$$

$$
a=1, \quad b=-2
$$

又：

$$
y=x^{2} e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=2 x e^{x}+x^{2} e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=2 e^{x}+2 x e^{x}+2 x e^{x}+x^{2} e^{x}
$$

代入，得：

$$
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(c x + d) \mathrm{e}^{x} \Rightarrow
$$

$$
2 e^{x}+4 x e^{x}+x^{2} e^{x}+2 x e^{x}+x^{2} e^{x}-
$$

$$
2 x^{2} e^{x}=(c x + d) \mathrm{e}^{x} \Rightarrow
$$

$$
2 e^{x}+6 x e^{x}=(6 x+2) e^{x}=(c x+d) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
c=6, \quad d=2
$$

综上：

$$
a=1, \quad b=-2, \quad c=6, \quad d=2
$$

方法二：直接代入计算

$$
y *=e^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{* \prime}=-2 e^{-2 x}+2 x e^{x}+\left(x^{2}+2\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{* \prime}=-2 e^{-2 x}+\left(x^{2}+2 x+2\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{*^{\prime \prime}}=4 e^{-2 x}+\left(2 x+2+x^{2}+2 x+2\right) e^{x}
$$

于是：

$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+d) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
4 e^{-2 x}+\left(4 x+4+x^{2}\right) e^{x}+a\left[-2 e^{-2 x}+\right.
$$

$$
\left.\left(x^{2}+2 x+2\right) e^{x}\right]+b\left[e^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) e^{x}\right]=
$$

$$
(c x+d) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}4-2 a+b=0 \\ 1+a+b=0 \\ 4+2 a=c \\ 4+2 a+2 b=d\end{array} \quad \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array} \quad \Rightarrow\right.\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}4+2=c \\ 4+2-4=d .\end{array} = \left\{\begin{array}{l} c = 6 \\ d=2\end{array} \quad \Rightarrow\right.\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=-2 \\ c=6 \\ d=2 \end{array}\right.
$$

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