已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数

一、题目

已知 $y^{\ast }$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-2x}$ $+$ $(x^2$ $+$ $2){\mathrm{e}}^x$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $a{y}^{\prime }$ $+$ $by$ $=$ $(cx+d){\mathrm{e}}^x$ 的一个解，方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是多少？

难度评级：

二、解析

方法一：利用解的性质推测

首先，写出特征根 $\lambda$ 的表达式：

$$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0$$

由于 $y^{\ast }=e^{-2x}+(x^2+2)e^x$ 是所给二阶微分方程的一个解：

$$y^{\ast }=e^{-2x}+(x^2+2)e^x\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=e^{-2x}+2e^x+x^2{e}^x.$$

由于齐次微分方程的通解中不可能存在 $x^2$, 因此，$x^2{e}^x$ 一定来自非齐次微分方程的特解，而【线性无关】的 $e^{-2x}$ 和 $2e^x$ 一定来自齐次微分方程的通解。于是：

$${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=1$$

进而：

$$(\lambda +2)(\lambda –1)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2+\lambda –2=0\Rightarrow$$

$$a=1,b=-2$$

又：

$$y=x^2{e}^x\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=2e^x+2x{e}^x+2x{e}^x+x^2{e}^x$$

代入，得：

$$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=(cx+d){\mathrm{e}}^x\Rightarrow$$

$$2e^x+4x{e}^x+x^2{e}^x+2x{e}^x+x^2{e}^x-$$

$$2x^2{e}^x=(cx+d){\mathrm{e}}^x\Rightarrow$$

$$2e^x+6x{e}^x=(6x+2)e^x=(cx+d)e^x\Rightarrow$$

$$c=6,d=2$$

综上：

$$a=1,b=-2,c=6,d=2$$

方法二：直接代入计算

$$y\ast =e^{-2x}+(x^2+2)e^x\Rightarrow$$

$$y^{\ast \prime }=-2e^{-2x}+2x{e}^x+(x^2+2)e^x\Rightarrow$$

$$y^{\ast \prime }=-2e^{-2x}+(x^2+2x+2)e^x\Rightarrow$$

$$y^{{\ast }^{\prime \prime }}=4e^{-2x}+(2x+2+x^2+2x+2)e^x$$

于是：

$$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=(cx+d)e^x\Rightarrow$$

$$4e^{-2x}+(4x+4+x^2)e^x+a[-2e^{-2x}+$$

$$(x^2+2x+2)e^x]+b[e^{-2x}+(x^2+2)e^x]=$$

$$(cx+d)e^x\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}4-2a+b=0\\ 1+a+b=0\\ 4+2a=c\\ 4+2a+2b=d\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}4+2=c\\ 4+2-4=d.\end{array}=\{\begin{array}{l}c=6\\ d=2\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=6\\ d=2\end{array}$$

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