已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 y = e2x + (x2 + 2)ex 是二阶常系数线性非齐次微分方程 y + ay + by = (cx+d)ex 的一个解,方程中的系数 ab 以及非齐次项中的常数 cd 分别是多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一:利用解的性质推测

首先,写出特征根 λ 的表达式:

y+ay+by=0

λ2+aλ+b=0

由于 y=e2x+(x2+2)ex 是所给二阶微分方程的一个解:

y=e2x+(x2+2)ex

y=e2x+2ex+x2ex.

由于齐次微分方程的通解中不可能存在 x2, 因此,x2ex 一定来自非齐次微分方程的特解,而【线性无关】的 e2x2ex 一定来自齐次微分方程的通解。于是:

λ1=2, λ2=1

进而:

(λ+2)(λ1)=0

λ2+λ2=0

a=1,b=2

又:

y=x2ex

y=2xex+x2ex

y=2ex+2xex+2xex+x2ex

代入,得:

y+y2y=(cx+d)ex

2ex+4xex+x2ex+2xex+x2ex

2x2ex=(cx+d)ex

2ex+6xex=(6x+2)ex=(cx+d)ex

c=6,d=2

综上:

a=1,b=2,c=6,d=2

方法二:直接代入计算

y=e2x+(x2+2)ex

y=2e2x+2xex+(x2+2)ex

y=2e2x+(x2+2x+2)ex

y=4e2x+(2x+2+x2+2x+2)ex

于是:

y+ay+by=(cx+d)ex

4e2x+(4x+4+x2)ex+a[2e2x+

(x2+2x+2)ex]+b[e2x+(x2+2)ex]=

(cx+d)ex

{42a+b=01+a+b=04+2a=c4+2a+2b=d{a=1b=2

{4+2=c4+24=d.={c=6d=2

{a=1b=2c=6d=2


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