将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值 一、题目 已知 A 是三阶矩阵，其特征值是 1,3,−2, 相应的特征向量依次为 α1,α2,α3, 若 P=[α1,2α3,−α2], 则 P−1AP=? 难度评级： 二、解析 快速解法 由于： Aα1=1⋅α1 Aα3=−2α3⇒A(2α3)=−2(2α3) Aα2=3α2⇒A(−α2)=3(−α2) 因此可知，α1 对应的特征值为 1, 2α3 对应的特征值为 −2, −α2 对应的特征值为 3, 因此： P−1AP=[1−23] 常规解法 P=(α1,2α3,−α2)⇒ (α1,α2,α3)[10000−1020]=P⇒ 令： B=(α1,α2,α3) C=[10000−1020] 则： P=BC⇒P−1AP=(BC)−1A(BC)= C−1B−1ABC=C−1(B−1AB)C= C−1[13−2]C 接着，求解 C−1: [10010000−1010020001]=[10010001000120010−10]⇒ C−1=[10000120−10] 于是： C−1[13−2]=[10000120−10][13−2]= [1−1−3] 接着： [1−1−3]C⇒ [1−1−3][10000−1020]=[1−23] 即： P−1AP=[1−23] 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题！ 相关文章： 考研线性代数：行列式部分初级专项练习题（2024 年） 2017年考研数二第07题解析 2012年考研数二第07题解析 化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换 2014年考研数二第08题解析 千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件 2011年考研数二第08题解析 这个“需要”199次矩阵乘法运算的题目你会做吗？ 2011年考研数二第22题解析：线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵 不是所有题目都有巧妙做法：这道常数矩阵的逆矩阵题目直接算就很简单 2018年考研数二第14题解析 相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成 拼接矩阵会对秩产生什么样的影响？ 2017年考研数二第22题解析：特征值、基础解系、非齐次线性方程组 行列式的可拆分性（C001） 什么是极大无关组？ 2016年考研数二第23题解析：相似对角化、特征值、特征向量、线性表示 实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？ 分块矩阵求逆法：上三角形式（C010） 分块矩阵求逆法：下三角形式（C010） 向量组线性相关的充要条件：所形成的矩阵的秩（C016） 向量组线性无关的充要条件：所形成的矩阵的秩（C017） 2012年考研数二第08题解析 由矩阵 AB = O 可以推出的一些结论 这个矩阵求逆的题目直接求解很快，间接求解也可能很“快”
