一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点

一、题目

函数 $y=\frac{(x-3{)}^2}{4(x-1)}$ 的单调增区间是（），单调减区间是（），极值是（），凹区间是（），凸区间是（）

难度评级：

二、解析

前提知识

1. 一阶导大于零 — 单调增
2. 一阶导小于零 — 单调减
3. 一阶导等于零且二阶导不等于零 — 极值点
4. 二阶导等于零的点 — 拐点
5. 原函数先增后减 — 凸区间
6. 原函数先减后增 — 凹区间

求解步骤

首先，计算出一阶导 $y^{\prime }$:

$$y=\frac{(x-3{)}^2}{4(x-1)}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{2(x-3)\cdot 4(x-1)-(x-3{)}^2\cdot 4}{16(x-1{)}^2}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{(x-3)\cdot [4(x-1)-2(x-3)]}{8(x-1{)}^2}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{(x-3)(4x-4-2x+6)}{8(x-1{)}^2}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{(x-3)(2x+2)}{8(x-1{)}^2}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{(x-3)(x+1)}{4(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{4(x-1{)}^2}$$

接着，计算出二阶导 $y^{\prime \prime }$:

$$y^{\prime \prime }=\frac{(2x-2)\cdot 4(x-1{)}^2-(x-3)(x+1)\cdot 8(x-1)}{16(x-1{)}^4}$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{2(x-1{)}^3-2\cdot (x-3)(x+1)(x-1)}{4(x-1{)}^4}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{2(x-1{)}^2-4^2(x-3)(x+1)}{4(x-1{)}^3}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{2(x^2+1-2x)-2(x^2-2x-3)}{4(x-1{)}^3}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{2x^2+2-4x-2x^2+4x+6}{4(x-1{)}^3}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x-1{)}^3}$$

于是，我们就可以逐一求解题目中的问题了。

首先，令 $y^{\prime }=0$, 则：

$$x_1=3,x_2=-1$$

接着，我们需要判断 $y^{\prime }$ 的大致图像——

分析可知，$y^{\prime }$ 的正负主要取决于分子（分母始终为正），因此：

$${(x^2-2x-3)}_x^{\prime }=2x-2\Rightarrow$$

$$(2x-2{)}_x^{\prime }=2>0$$

于是可知，$y^{\prime }$ 的分子是一个凹二次函数，且在 $x=-1$ 和 $x=3$ 两处分别取得零，由于 $y^{\prime }$ 的分母始终为正，因此，$y^{\prime }$ 的正负和其分子的正负保持一致，于是：

$$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (3,+\mathrm{\infty })\Rightarrow y^{\prime }>0$$

$$[-1,3]\Rightarrow y^{\prime }<0$$

因此：

原函数的单调递增区间为：

$$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [3,+\mathrm{\infty })$$

原函数的单调递减区间为：

$$[-1,1)\cup (1,3]$$

又：

$$x=-1\Rightarrow y^{\prime \prime }=\frac{2}{(-2{)}^3}=\frac{-1}{4}<0$$

因此，原函数的极大值为：

$$f(-1)=\frac{16}{4\times (-2)}=-2$$

接着：

$$x=3\Rightarrow y^{\prime \prime }=\frac{2}{2^3}=\frac{1}{4}>0$$

因此，原函数的极小值为：

$$f(3)=0$$

Tips:

由此可看出，一个函数的极大值并不一定会比其极小值大。

又由 $y^{\prime \prime }$ 的表达式可知：

$$x>1\Rightarrow y^{\prime \prime }>0$$

因此，$(1,+\mathrm{\infty })$ 是原函数的凹区间。

又：

$$x<1\Rightarrow y^{\prime \prime }<0$$

因此，$(-\mathrm{\infty },1)$ 是原函数的凸区间。

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