寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）

一、题目

曲线 $x={\cos }^{3}t$, $y={\sin }^{3}t$ 在 $t=t_0$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

本题中所给的曲线的方程是一个参数方程，只不过没有写成我们常见的参数方程的书写形式。

首先，我们需要先按照如下求解曲率的公式求解出本题中曲线的曲率表达式：

$$K=\frac{\left|y^{\prime \prime }\right|}{{(1+y^{\prime 2})}^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow$$

又：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3{\sin }^{2}t\cdot \cos t$$

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3{\cos }^{2}t\cdot (-\sin t)$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{{\sin }^{2}t\cos t}{-\sin t{\cos }^{2}t}=\frac{\sin t}{-\cos t}$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=$$

$$\frac{-{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}\cdot \frac{-1}{3\sin t{\cos }^{2}t}=\frac{1}{3\sin t{\cos }^{4}t}$$

于是：

$$K=\left|\frac{1}{3\sin t{\cos }^{4}t}\right|\times \frac{1}{{[1+{\left(\frac{\sin t}{-\cos t}\right)}^2]}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$\left|\frac{1}{3\sin t{\cos }^{4}t}\right|\times \frac{1}{\frac{1}{{({\cos }^{2}t)}^{\frac{3}{2}}}}=$$

$$\frac{|\cos t{|}^3}{3|\sin t{\cos }^{4}t|}=\frac{1}{3|\sin t\cos t|}\Rightarrow$$

曲率最大时，曲率半径（曲率的倒数）最小，因此：

Tips: 当 $\sin t$ $=$ $\cos t$ 的时候，$\sin t$ 乘以 $\cos t$ 所得的值最大。

$$max(|\sin t\cos t|)\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}\Rightarrow$$

$$max(|\sin t\cos t|)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$

或者，我们还可以这样求解 $\sin t\cos t$ 的最大值：

$$\sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin 2t\Rightarrow max(\frac{1}{2}\sin 2t)=\frac{1}{2}$$

于是：

$$K=\frac{1}{3\times \frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{K}=\frac{3}{2}$$

即，题目所要求解的曲率半径为 $\frac{3}{2}$.

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