寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）

一、题目

曲线 $x=\cos ^{3} t$, $y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

本题中所给的曲线的方程是一个参数方程，只不过没有写成我们常见的参数方程的书写形式。

首先，我们需要先按照如下求解曲率的公式求解出本题中曲线的曲率表达式：

$$
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow
$$

又：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=3 \sin ^{2} t \cdot \cos t
$$

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=3 \cos ^{2} t \cdot(-\sin t)
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\sin ^{2} t \cos t}{-\sin t \cos ^{2} t}=\frac{\sin t}{-\cos t}
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{\mathrm{d}} x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=
$$

$$
\frac{-\cos ^{2} t-\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} \cdot \frac{-1}{3 \sin t \cos ^{2} t}=\frac{1}{3 \sin t \cos ^{4} t}
$$

于是：

$$
K=\left|\frac{1}{3 \sin t \cos ^{4} t}\right| \times \frac{1}{\left[1+\left(\frac{\sin t}{-\cos t}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} =
$$

$$
\left|\frac{1}{3 \sin t \cos ^{4} t}\right| \times \frac{1}{\frac{1}{\left(\cos ^{2} t\right)^{\frac{3}{2}}}}=
$$

$$
\frac{|\cos t|^{3}}{3\left|\sin t \cos ^{4} t\right|}=\frac{1}{3|\sin t \cos t|} \Rightarrow
$$

曲率最大时，曲率半径（曲率的倒数）最小，因此：

Tips: 当 $\sin t$ $=$ $\cos t$ 的时候，$\sin t$ 乘以 $\cos t$ 所得的值最大。

$$
\max (|\sin t \cos t|) \Rightarrow t=\frac{\pi}{4} \Rightarrow
$$

$$
\max (|\sin t \cos t |)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}
$$

或者，我们还可以这样求解 $\sin t \cos t$ 的最大值：

$$
\sin t \cos t=\frac{1}{2} \sin 2 t \Rightarrow \max \left(\frac{1}{2} \sin 2 t\right)=\frac{1}{2}
$$

于是：

$$
K=\frac{1}{3 \times \frac{1}{2}}=\frac{2}{3} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{K}=\frac{3}{2}
$$

即，题目所要求解的曲率半径为 $\frac{3}{2}$.

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