若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同

一、题目

下面的矩阵中与矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 3& 4\\ 0& 4& 3\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 3& \\ & & -2\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & -1& \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 2& \\ & & 3\end{array}\right]$

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二、解析

首先，跟《什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值》这篇文章，实对称矩阵对角线上的元素不一定是特征值，因此，我们首先需要求解出矩阵 $A$ 的特征值：

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 0& 0\\ 0& \lambda -3& -4\\ 0& -4& \lambda -3\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -3{)}^2-16(\lambda -2)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)[(\lambda -3{)}^2-(6]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(x^2+9-6\lambda -16)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)({\lambda }^2-6\lambda -7)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -7)(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=7,{\lambda }_3=-1$$

于是可知，矩阵 $A$ 的正惯性指数为 $2$, 负惯性指数为 $1$, 由于，对于实对称矩阵而言，只有正负惯性指数分别相同的矩阵才可以合同，因此，本题的正确选项为 $(B)$.

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