当变量趋于无穷大时，我们可以尝试提取出式子中共同的部分（抽离无穷大），或许就可以得到无穷小量

一、题目

已知 $0<\alpha<\beta$, 则 $\frac{(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}}{n^{\beta}}$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时是 $\frac{1}{n}$ 的（）阶无穷小？

难度评级：

二、解析

$$
\frac{(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}}{n^{\beta}}=
$$

$$
\frac{(n+1)^{\alpha}}{n^{\beta}}-\frac{n^{\alpha}}{n^{\beta}}=
$$

$$
\frac{\left[n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^{\alpha}}{n^{\beta}}-n^{\alpha-\beta}=
$$

$$
\frac{n^{\alpha}}{n^{\beta}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha}-n^{\alpha-\beta}=
$$

$$
n^{\alpha-\beta}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha}-n^{\alpha-\beta}=
$$

$$
n^{\alpha-\beta}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha}-1\right]=
$$

$$
n^{\alpha-\beta} \cdot \frac{\alpha}{n}=
$$

$$
\frac{1}{n^{\beta – \alpha}} \cdot \frac{\alpha}{n}=
$$

$$
\frac{\alpha}{n^{\beta – \alpha +1}}
$$

于是可知，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}}{n^{\beta}}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的 $\beta – \alpha + 1$ 阶无穷小。

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