实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 A 是三阶实对称矩阵,若正交矩阵 Q 使得 Q1AQ=[300030006], 如果 α1=(1, 0,1),α2=(0,1,1) 是矩阵 A 属于特征值 λ=3 的特征向量,则 Q=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,设特征值 λ3=α3=(x1,x2,x3), 则:

Q=(α1,α2,α3)

而且,α1,α2α3 是正交的,因此:

(1)(1,0,1)(x1x2x3)=x1x3=0

(2)(0,1,1)(x1x2x3)=x2+x3=0

x3=1, 则,x1=1x2=1

Tips:

也可以令 x3 等于其他数字,但是最终都可以化简成当 x3 等于 1 时的值,所以直接令 x3=1 即可。

即:

α3=(1,1,1)

但是:

α1α2=

(1,0,1)(011)=10

于是可知,α1α2 不正交,所以需要正交化:

β1=α1

β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1

(α2,β1)=α2β1=(0,1,1)(101)=1

(β1,β1)=β1β1=(1,0,1)(101)=1+1=2

于是:

β2=α212β1

β2=(011)+12(101)=(12112)

此外:

β3=α3=(111)

之后再对 β1,β2,β3 进行单位化:

γ1=1||β1||β1=12(101)=(12012)

γ2=1||β2||β2=23(12112)=26(12112)=(162616)

Tips:

拓展:《二次根式的运算法则汇总

γ3=1||β3||(111)=13(111)=(131313)

于是:

Q=(γ1,γ2,γ3)

Q=(12161302613121613)


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