实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{lll}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$, 如果 ${\mathit{\alpha }}_1=(1$, $0,-1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(0,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 是矩阵 $\mathit{A}$ 属于特征值 $\lambda =3$ 的特征向量，则 $Q=?$

难度评级：

二、解析

首先，设特征值 ${\lambda }_3={\alpha }_3=(x_1,x_2,x_3)$, 则：

$$Q=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

而且，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 是正交的，因此：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (1,0,-1)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=x_1-x_3=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (0,1,1)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=x_2+x_3=0\end{array}$$

令 $x_3=1$, 则，$x_1=1$， $x_2=-1$

Tips:

也可以令 $x_3$ 等于其他数字，但是最终都可以化简成当 $x_3$ 等于 $1$ 时的值，所以直接令 $x_3=1$ 即可。

即：

$${\alpha }_3=(1,-1,1{)}^{\mathrm{\top }}$$

但是：

$${\alpha }_1^{\mathrm{\top }}{\alpha }_2=$$

$$(1,0,-1)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)=-1\ne 0$$

于是可知，${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 不正交，所以需要正交化：

$${\beta }_1={\alpha }_1$$

$${\beta }_2={\alpha }_2–\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1\Rightarrow$$

$$({\alpha }_2,{\beta }_1)={\alpha }_2^{\mathrm{\top }}{\beta }_1=(0,1,1)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=-1$$

$$({\beta }_1,{\beta }_1)={\beta }_1^{\mathrm{\top }}{\beta }_1=(1,0,-1)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=1+1=2$$

于是：

$${\beta }_2={\alpha }_2–\frac{-1}{2}{\beta }_1\Rightarrow$$

$${\beta }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

此外：

$${\beta }_3={\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$

之后再对 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 进行单位化：

$${\gamma }_1=\frac{1}{||{\beta }_1||}{\beta }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

$${\gamma }_2=\frac{1}{||{\beta }_2||}{\beta }_2=\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)=\frac{2}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$$

Tips:

拓展：《二次根式的运算法则汇总》

$${\gamma }_3=\frac{1}{||{\beta }_3||}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{-1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$$

于是：

$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)\Rightarrow$$

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0& \frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$$

---