实对称矩阵（包括对角矩阵）属于不同特征值的特征向量正交

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$, 其中 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,2,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(4,-1,a{)}^{\mathrm{\top }}$ 分别是属于特征值 $\lambda =1$ 与 $\lambda =3$ 的特征向量，那么矩阵 $\mathit{A}$ 属于特征值 $\lambda =-2$ 的 特征向量是（）

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二、解析

Tips:

关于实对称矩阵的相关知识，可以参考：《实对称矩阵的性质汇总》

设矩阵属于特征值 $-2$ 的特征向量为：

$${\alpha }_3=(x_1,x_2,x_3)$$

则：

$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_1^{\mathrm{\top }}{\alpha }_2=0\\ {\alpha }_1^{\mathrm{\top }}{\alpha }_3=0\\ {\alpha }_2^{\mathrm{\top }}{\alpha }_3=0\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}4-2-2a=0\\ x_1+2x_2-2x_3=0\\ 4x_1-x_2+a{x}_3=0\end{array}\Rightarrow a=1\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 4x_1-x_2+x_3=0\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}9x_1=0\\ x_2-x_3=0\\ x_3-x_2=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=1\\ x_3=1\end{array}$$

于是得到属于上述线性方程组的基础解系 $(0,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$, 进而可得，特征值 $\lambda =-2$ 对应的特征向量 ${\alpha }_3$ 为：

$${\alpha }_3=k(0,1,1{)}^{\mathrm{\top }},k\ne 0\Rightarrow$$

$${\alpha }_3=(0,k,k{)}^{\mathrm{\top }},k\ne 0.$$