一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(4,-1, a)^{\mathrm{\top}}$ 分别是属于特征值 $\lambda=1$ 与 $\lambda=3$ 的特征向量，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=-2$ 的 特征向量是（）
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二、解析 
Tips:
关于实对称矩阵的相关知识，可以参考：《实对称矩阵的性质汇总》
设矩阵属于特征值 $-2$ 的特征向量为：
$$
\alpha_{3} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})
$$
则：
$$
\left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}^{\top} \alpha_{2}=0 \\ \alpha_{1}^{\top} \alpha_{3}=0 \\ \alpha_{2}^{\top} \alpha_{3}=0\end{array}\right. \quad \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}4-2-2 a=0 \\ x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=0 \\ 4 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=0\end{array}\right. \quad \Rightarrow a=1 \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=0 \\ 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=0\end{array}\right. \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}9 x_{1}=0 \\ x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{3}-x_{2}=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=1\end{array}\right.\right.
$$
于是得到属于上述线性方程组的基础解系 $(0,1,1)^{\top}$, 进而可得，特征值 $\lambda = -2$ 对应的特征向量 $\alpha_{3}$ 为：
$$
\alpha_{3} = k(0, 1, 1)^{\top}, \quad k \neq 0 \Rightarrow
$$
$$
\alpha_{3} = (0, k, k)^{\top}, \quad k \neq 0.
$$