矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数

一、题目

已知 $\mathit{\alpha }=(a,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 是矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& a& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\mathit{\alpha }$ 在矩 阵 $\mathit{A}$ 中对应的特征值是多少？

难度评级：

二、解析

本题的一个解题思路是先根据题目求解出逆矩阵 $A^{-1}$, 但是这样会导致计算量增加——可以先根据特征值、特征向量的相关公式进行转换后，尽可能利用题目直接给出的已知条件求解：

$$A^{-1}\alpha =\lambda \alpha \Rightarrow A{A}^{-1}\alpha =A\lambda \alpha \Rightarrow \alpha =\lambda A\alpha \Rightarrow$$

$$\left(\begin{array}{l}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)=r\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& a& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$\left(\begin{array}{l}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}-a+4\\ 3a-2\\ 2a-3\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{cc}-a\lambda +4\lambda =a& (1)\\ 3a\lambda -2\lambda =1& (2)\\ 2a\lambda -3\lambda =1& (3)\end{array}$$

根据上式，可知：

$$(2),(3)\Rightarrow \lambda \ne 0$$

$$(2)-(3)\Rightarrow \lambda (a+1)=0\Rightarrow a+1=0\Rightarrow a=-1$$

$$a=-1\Rightarrow (1)\Rightarrow \lambda +4\lambda =-1\Rightarrow 5\lambda =-1\Rightarrow \lambda =\frac{-1}{5}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{\lambda }=-5$$

Tips:

矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数。

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