化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,1,-1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(1,-1,a{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(a,2,1{)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\beta }={(4,-4,a^2)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\gamma }=$ $(a,b,c{)}^{\mathrm{\top }}$. 如 $\mathit{\beta }$ 可由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性表出, 但 $\mathit{\gamma }$ 不能由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性表示, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

首先，化简列向量组并不是只能使用初等行变换，也可以使用初等列变换，但是，使用初等列变换会打乱各个列向量原本的相对位置，我们又很难在化简完成之后，将这些被打乱的列向量移动回其原来的相对位置上，在有些对列向量的相对位置敏感的题目中，例如求解线性方程组的解或者本题（本题要求 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )$ 向量组中，$\beta$ 向量的位置只能在最后一个才可以看到明显的效果——$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\gamma )$ 向量组中对 $\gamma$ 列向量的要求也已一样）。

因此，我们在化简列向量组成的列向量组时，最好只使用初等行变换。

解法一

如果 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性无关的话，那么这三个 3 维列向量就可以表示任意一个 3 维向量。

但是，从题目描述可知，${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 并不可以表示任意一个 3 维向量，于是，${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 一定线性相关，也就是：

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& -1& 2\\ -1& a& 1\end{array}\right|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& -2& 2-a\\ 0& a+1& a+1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$-2(a+1)-(a+1)(2-a)=0\Rightarrow$$

$$(a+1)(a-4)=0\Rightarrow$$

$$a=-1,a=4$$

接着，我们需要注意验证，当 $a=-1$ 或者 $a=4$ 时，能否使得 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 表示出来 $\beta$.

当 $a=-1$ 时：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& ⋮& 4\\ 1& -1& 2& ⋮& -4\\ -1& -1& 1& ⋮& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等行变换：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& ⋮& 4\\ 0& -2& 3& ⋮& -8\\ 0& 0& 0& ⋮& 5\end{array}\right]$$

于是可知，当 $a=-1$ 时，$\beta$ 不能由 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性表出。

当 $a=4$ 时：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 4& ⋮& 4\\ 1& -1& 2& ⋮& -4\\ -1& 4& 1& ⋮& 16\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等行变换：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 4& ⋮& 4\\ 0& -2& -2& ⋮& -8\\ 0& 5& 5& ⋮& 20\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等行变换：

$$\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 4& ⋮& 4\\ 0& 1& 1& ⋮& 4\\ 0& 1& 1& ⋮& 4\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等行变换：

$$\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 4& ⋮& 4\\ 0& 1& 1& ⋮& 4\\ 0& 0& 0& ⋮& 0\end{array}\right]$$

于是可知，当 $a=4$ 时，$\beta$ 能由 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性表出。

综上可知：

$$a=4$$

解法二

若 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性表出，则在矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )$ 中一定可以消出来全零的列：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& a& 4\\ 1& -1& 2& -4\\ -1& a& 1& a^2\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等列变换：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& a& 0\\ 1& -2& 0& -8\\ -1& a+1& a+2& a^2+4\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等列变换：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& a& 0\\ 1& -2& 0& 0\\ -1& a+1& a+2& a^2-4a\end{array}\right].$$

则，为了使上面的矩阵中出现全为零的列，必须有：

$$a^2-4a\Rightarrow a(a-4)\Rightarrow a=0,a=4$$

又，若 $\gamma$ 不可由 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性表出，则在矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )$ 中一定不可以消出来全零的列：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& a& a\\ 1& -1& 2& b\\ -1& a& 1& c\end{array}\right]\Rightarrow$$

初等列变换：

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& a& a\\ 2& -1& 0& b\\ -1-a& a& 2+a& c\end{array}\right].$$

这里我们必须考虑到 $b$ 和 $c$ 都等于零的情况，在此情况下，为了保证不出现全为零的列，则必须有：

$$a\ne 0.$$

综上可知：

$$a=4$$

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