化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\gamma}=$ $(a, b, c)^{\mathrm{\top}}$. 如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

首先，化简列向量组并不是只能使用初等行变换，也可以使用初等列变换，但是，使用初等列变换会打乱各个列向量原本的相对位置，我们又很难在化简完成之后，将这些被打乱的列向量移动回其原来的相对位置上，在有些对列向量的相对位置敏感的题目中，例如求解线性方程组的解或者本题（本题要求 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta )$ 向量组中，$\beta$ 向量的位置只能在最后一个才可以看到明显的效果——$(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \gamma )$ 向量组中对 $\gamma$ 列向量的要求也已一样）。

因此，我们在化简列向量组成的列向量组时，最好只使用初等行变换。

解法一

如果 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关的话，那么这三个 3 维列向量就可以表示任意一个 3 维向量。

但是，从题目描述可知，$\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 并不可以表示任意一个 3 维向量，于是，$\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 一定线性相关，也就是：

$$
|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & a & 1\end{array}\right| = 0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 0 & -2 & 2-a \\ 0 & a+1 & a+1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
-2(a+1)-(a+1)(2-a)=0 \Rightarrow
$$

$$
(a+1)(a-4)=0 \Rightarrow
$$

$$
a=-1, a=4
$$

接着，我们需要注意验证，当 $a = -1$ 或者 $a = 4$ 时，能否使得 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 表示出来 $\beta$.

当 $a = -1$ 时：

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & \vdots & 4 \\ 1 & -1 & 2 & \vdots & -4 \\ -1 & -1 & 1 & \vdots & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & \vdots & 4 \\ 0 & -2 & 3 & \vdots & -8 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 5\end{array}\right]$$

于是可知，当 $a = -1$ 时，$\beta$ 不能由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表出。

当 $a = 4$ 时：

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 4 & \vdots & 4 \\ 1 & -1 & 2 & \vdots & -4 \\ -1 & 4 & 1 & \vdots & 16\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 4 & \vdots & 4 \\ 0 & -2 & -2 & \vdots & -8 \\ 0 & 5 & 5 & \vdots & 20\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 4 & \vdots & 4 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 4 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 4\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 4 & \vdots & 4 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 0\end{array}\right]
$$

于是可知，当 $a = 4$ 时，$\beta$ 能由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表出。

综上可知：

$$
a = 4
$$

解法二

若 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表出，则在矩阵 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta)$ 中一定可以消出来全零的列：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & a & 4 \\
1 & -1 & 2 & -4 \\
-1 & a & 1 & a^{2}
\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等列变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & a & 0 \\
1 & -2 & 0 & -8 \\
-1 & a+1 & a+2 & a^{2}+4
\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等列变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & a & 0 \\
1 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & a+1 & a+2 & a^{2}-4 a
\end{array}\right].
$$

则，为了使上面的矩阵中出现全为零的列，必须有：

$$
a^{2}-4 a \Rightarrow a(a-4) \Rightarrow a=0, a=4
$$

又，若 $\gamma$ 不可由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表出，则在矩阵 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta)$ 中一定不可以消出来全零的列：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 1 & a & a \\
1 & -1 & 2 & b \\
-1 & a & 1 & c
\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等列变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
0 & 1 & a & a \\
2 & -1 & 0 & b \\
-1-a & a & 2+a & c
\end{array}\right].
$$

这里我们必须考虑到 $b$ 和 $c$ 都等于零的情况，在此情况下，为了保证不出现全为零的列，则必须有：

$$
a \neq 0.
$$

综上可知：

$$
a = 4
$$

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