二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法：主对角线对调，副对角线变号

一、题目

已知，四阶矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 满足 $2\mathit{A}\mathit{B}{\mathit{A}}^{-1}=\mathit{A}\mathit{B}+6\mathit{E}$, 若 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 1& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$, 则 $\mathit{B}=?$

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二、解析

首先，化简题目所给的抽象矩阵：

$$2AB{A}^{-1}=AB+6E\Rightarrow$$

左边乘以 $A^{-1}$, 右边乘以 $A$:

$$2A^{-1}AB{A}^{-1}A=A^{-1}ABA+6A^{-1}EA\Rightarrow$$

$$2B=BA+6E\Rightarrow$$

$$2B-BA=6E\Rightarrow$$

$$B(2E-A)=6E\Rightarrow$$

$$B=6E(2E-A{)}^{-1}\Rightarrow$$

Tips:

“$6E$” 主要是为了形成一个矩阵，如果式子中其他部分已经可以保证乘以 $6$ 所得的就是一个矩阵，那么，$6E$ 就可以写成 $6$.

$$B=6(2E-A{)}^{-1}$$

又：

$$2E-A=\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 2& -2\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right]$$

又知，块对角矩阵的运算规律如下：

$${\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right]$$

$${\left[\begin{array}{ll}0& A\\ B& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& B^{-1}\\ A^{-1}& 0\end{array}\right]$$

且知，二阶矩阵的伴随矩阵快速求解方式为“主对角线对调，副对角线变号”：

$${\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

且：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}\Rightarrow A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$

又：：

$${\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& -1\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 2\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& 2\end{array}\right]$$

且：

$$\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& -1\end{array}\right|=-1-2=-3,\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 2\end{array}\right|=4+2=6$$

于是：

$$6(2E-A)=6\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{3}& \frac{-2}{3}& 0& 0\\ \frac{-1}{3}& \frac{-1}{3}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 0& \frac{-1}{6}& \frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& -4& 0& 0\\ -2& -2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right]$$

Tips:

注意：

1. 矩阵乘以一个常数，是矩阵的每一行或者每一列都乘以这个常数；
2. 行列式乘以一个常数，是行列式的某一行或者某一列乘以这个常数。

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