你会处理分段函数分段点处的导数吗？

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\arctan x,& x⩽1\\ \frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{x^2-1}-x)+\frac{\pi }{4},& x>1,\end{array}$, 则 $f^{\prime }(x)=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$x⩽1\Rightarrow (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

且此时：

$$f^{\prime }\left(1^{-}\right)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$

又：

$$x>1\Rightarrow {[\frac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\frac{\pi }{4}]}^{\prime }=\frac{1}{2}{(e^{x^2-1}-x)}^{\prime }=$$

$$\frac{1}{2}[2x{e}^{x^2-1}-1]=x{e}^{x^2-1}-\frac{1}{2}$$

且此时：

$$f^{\prime }\left(1^{+}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

于是：

$$f^{\prime }\left(1^{-}\right)=f^{\prime }\left(1^{+}\right)=\frac{1}{2}.$$

综上可知：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+x^2},& x\le 1\\ e^{x^2-1}-\frac{1}{2},& x>1\end{array}$$

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