一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1,\end{array}\right.$, 则 $f^{\prime}(x)=?$
难度评级：
二、解析 
首先：
$$
x \leqslant 1 \Rightarrow(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}
$$
且此时：
$$
f^{\prime}\left(1^{-}\right)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
$$
又：
$$
x>1 \Rightarrow\left[\frac{1}{2}\left(e^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}\right]^{\prime}=\frac{1}{2}\left(e^{x^{2}-1}-x\right)^{\prime}=
$$
$$
\frac{1}{2}\left[2 x e^{x^{2}-1}-1\right]=x e^{x^{2}-1}-\frac{1}{2}
$$
且此时：
$$
f^{\prime}\left(1^{+}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
$$
于是：
$$
f^{\prime}\left(1^{-}\right)=f^{\prime}\left(1^{+}\right)=\frac{1}{2}.
$$
综上可知：
$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+x^{2}}, & x \leq 1 \\ e^{x^{2}-1}-\frac{1}{2}, & x>1\end{array}\right.
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！