由已知“猜”未知：一点处极限存在，则该点左右两侧的极限相等

题目 02

已知，函数 $f(x)=\left{$$\begin{array}{ccc}\frac{e^{a{x}^3}-1}{x-\arcsin x},& x>06,& x⩽0\end{array}$$\right.$\mathrm{在}$x=0$\mathrm{点}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}$a=?$

解析 02

由《常用等价无穷小公式》可知：

$$x–\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$

$$x–\arcsin x\sim \frac{-1}{6}{x}^3$$

于是：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^{a{x}^3}-1}{x-\arcsin x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^{a{x}^3}-1}{\frac{-1}{6}}.$$

于是，当 $a=-1$ 时：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^{a{x}^3}-1}{\frac{-1}{6}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^{-x^3}-1}{\frac{-1}{6}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-x^3}{\frac{-1}{6}}=6$$

综上可知：

$$a=-1$$

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