利用逆序求 n 阶行列式的值

一、前言

我们都知道，$3$ 阶行列式是可以利用主副对角线计算出具体数值的，高于 $3$ 阶的 $n$ 阶行列式虽然不能这么计算，但是也有自己的计算公式——借助“逆序”这一工具，我们可以求解任意阶数的行列式的值。

Tips

关于逆序数的计算方法， 可以参考《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》这篇文章。

二、正文

对于 $n$ 阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

其值就等于【所有】取自【不同行不同列】的 $\mathrm{n}$ 个元素的【乘积】的【代数和】。

写成具体的公式就是：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

其中，$j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 是一组互不相等的数字，来自行列式的列标或者行标（在上面的定义中，$j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 表示的是行列式的列标），而 $\tau (j_1,j_2,\cdots ,j_n)$ 则表示 $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 的逆序数。

注意，在具体计算的时候，如果 $a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}=0$, 那么这一项的值是不会对行列式的最终结果产生影响的，因此，在实际使用上面的公式时，我们只需要考虑不等于零的元素即可。

相关例题

1. 你会使用逆序计算这个行列式吗？

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