有根号有平方：三角代换用起来！

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{(1+x)^{2}}{1-x^{2}}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
x=\sin t \Rightarrow x \in(0,1) \Rightarrow t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} t \frac{1+\sin t}{\cos t} \cdot \cos t \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} t+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} t=
$$

$$
\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}+\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1=\frac{3}{16} \pi+\frac{8}{15}
$$

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