有根号有平方：三角代换用起来！

一、题目

$$I={\int }_0^1{x}^4\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

$$I={\int }_0^1{x}^4\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^1{x}^4\sqrt{\frac{(1+x{)}^2}{1-x^2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^1{x}^4\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$x=\sin t\Rightarrow x\in (0,1)\Rightarrow t\in (0,\frac{\pi }{2})$$

$$\mathrm{d}x=\cos t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t\frac{1+\sin t}{\cos t}\cdot \cos t\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{5}t=$$

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{3}{16}\pi +\frac{8}{15}$$

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