配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？

一、题目

$$I={\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

代换法

$$I={\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=$$

$$I={\int }_0^1\sqrt{\frac{x^2}{x(1-x)}}\mathrm{d}x=$$

$$I={\int }_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}\mathrm{d}x=$$

又：

$$t=\sqrt{\frac{x}{1-x}}\Rightarrow x\in (0,1)\Rightarrow t\in (0,+\mathrm{\infty }).$$

$$x=\frac{t^2}{1+t^2}\Rightarrow \mathrm{d}x=\frac{2t(1+t^2)-2t^3}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\frac{2t}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$${\left(\frac{1}{1+t^2}\right)}^{\prime }=\frac{-2t}{{(1+t^2)}^2}$$

于是：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{2t^2}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+t^2}\right)\Rightarrow$$

$$I=-[{\frac{t}{1+t^2}|}_0^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t]$$

$$I={\arctan t|}_0^{+\mathrm{\infty }}-(0-0)\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}.$$

配方法

Tips:

关于配方的基础知识可以参考这篇文章《挖掘题目隐含条件的利器：配方法》。

由配方法可得：

$$x(1-x)\Rightarrow x-x^2\Rightarrow -(x^2-x)\Rightarrow$$

$$-[{(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}]\Rightarrow \frac{1}{4}-{(x-\frac{1}{2})}^2$$

于是：

$$I={\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{4}-{(x-\frac{1}{2})}^2}}\mathrm{d}x=$$

根据“左加右减”原理，将 $x$ 替换为 $x+\frac{1}{2}$ 相当于把整个式子向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，得：

$${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}\mathrm{d}x=$$

拆分：

$${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}\mathrm{d}x=$$

$$0+\frac{1}{2}\times 2{\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{4}-x^2=\frac{1-4x^2}{4}\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}(2x)}{\sqrt{1-(2x{)}^2}}=$$

$$\arcsin (2x){|}_0^{\frac{1}{2}}=\arcsin (1)-\arcsin (0)\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}.$$