这个 plus 版“左行右列”类问题你还会做吗？

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$, $\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+2a_{11}& a_{32}+2a_{12}& a_{33}+2a_{13}\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_1=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_2=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$, ${\mathit{P}}_3=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$, 则 如何使用 $\mathit{A}$, ${\mathit{P}}_{\mathbf{1}}$, ${\mathit{P}}_{\mathbf{2}}$ 或 ${\mathit{P}}_{\mathbf{3}}$ 表示 $\mathit{B}$ $?$

难度评级：

二、解析

观察可知，$B$ 的列标与 $A$ 的列标在相对位置上并没有变化，因此可以判定 由 $A$ 转换到 $B$ 的过程中并没有进行列变换，只进行了行变换。

于是：

把 $A$ 的第一行与第二行交换位置：

$$P_{3}A$$

把 $P_{3}A$ 的第二行的 $2$ 倍加到第三行：

$$P_2{P}_{3}A$$

或者：

把 $A$ 的第一行的 $2$ 倍加到第三行：

$$P_{1}A$$

把 $P_{1}A$ 的第一行和第二行交换位置：

$$P_3{P}_{1}A$$

综上可知：

$$B=P_2{P}_{3}A$$

或者：

$$B=P_3{P}_{1}A$$

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