考研线性代数：行列式部分初级专项练习题（2024 年） - 第6页共13页

题目 06

已知 $A$ $=$ $(α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 为三阶矩阵, 且 $| A | = 3$ , 则 $| α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} | = ?$

解析 06

$(α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}) =$

$(α_{1}, α_{2}, α_{3}) (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 1 \end{array}) \Rightarrow$

$| α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} | =$

$| A | \cdot | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 1 \end{array} | =$

$3 (1 + 0 - 12 - 0 - 0 - 0) =$

$3 \times (- 11) = - 33.$

或者：

$| α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} | =$

$| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} | +$

$| 2 α_{2}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} | =$

Tips:

通过初等行变换，可以将 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} |$ 化简为 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} |$ ——

或者也可以将 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1} |$ 拆分成 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} |$ 和 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, 2 α_{1} |$ ——

由于 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, 2 α_{1} |$ 中的 $α_{1}$ 和 $2 α_{1}$ 成比例，因此 $| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, 2 α_{1} |$ $=$ $0$ .

$| α_{1}, α_{2} - 3 α_{3}, α_{3} | +$

$| α_{2}, - 3 α_{3}, 2 α_{1} | =$

$| α_{1}, α_{2}, α_{3} | - 2 \times 3 | α_{2}, α_{3}, 2 α_{1} | =$

$| α_{1}, α_{2}, α_{3} | - 12 | α_{2}, α_{3}, α_{1} | =$

Tips:

将 $| α_{2}, α_{3}, α_{1} |$ 中的 $α_{2}$ 和 $α_{1}$ 交换位置需要移动两次。

$| α_{1}, α_{2}, α_{3} | - 12 \times (- 1)^{2} | α_{1}, α_{2}, α_{3} | =$

$3 - 12 \times 3 = (1 - 12) \times 3 = - 33.$

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