考研线性代数：行列式部分初级专项练习题（2024 年） - 第4页共13页

题目 04

已知 $A$ 为三阶矩阵, $A$ 的第一行元素为 $1, 2, 3$ , $| A |$ 的第二行元素的代数余子式分别为 $a + 1$ , $a - 2$ , $a - 1$ , 则 $a = ?$

解析 04

根据行列式中一行的代数余子式依次乘以其他行元素所得的结果为零，可知：

$1 \times (a + 1) + 2 (a - 2) + 3 (a - 1) = 0 \Rightarrow$

$a + 1 + 2 a - 4 + 3 a - 3 = 0 \Rightarrow$

$6 a - 6 = 0 \Rightarrow a = 1$

或者，令：

$A = [\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ Δ & Δ & Δ \\ k & f & g \end{array}] .$

则：

$(- 1)^{2 + 1} | \begin{array}{ll} 2 & 3 \\ f & g \end{array} | = - (2 g - 3 f) = a + 1$

$(- 1)^{2 + 2} | \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ k & g \end{array} | = g - 3 k = a - 2$

$(- 1)^{2 + 3} | \begin{array}{ll} 1 & 2 \\ k & f \end{array} | = - (f - 2 k) = a - 1$

于是：

${\begin{cases} 3 f - 2 g = a + 1 \\ g - 3 k = a - 2 \\ - f + 2 k = a - 1 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} 3 f - 6 k = 3 a - 3 \\ - f + 2 k = a - 1 \end{cases} \Rightarrow$

${\begin{cases} f - 2 k = a - 1 \\ 2 k - f = a - 1 \end{cases} \Rightarrow$

$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1.$

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