题目 04
已知 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的第一行元素为 $1,2,3$, $|\boldsymbol{A}|$ 的第二行元素的代数余子式分别为 $a+1$, $a-2$, $a-1$, 则 $a=?$
解析 04
根据行列式中一行的代数余子式依次乘以其他行元素所得的结果为零，可知：
$$
1 \times(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0 \Rightarrow
$$
$$
a+1+2 a-4+3 a-3=0 \Rightarrow
$$
$$
6 a-6=0 \Rightarrow a=1
$$
或者，令：
$$
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ \Delta & \Delta & \Delta \\ k & f & g\end{array}\right].
$$
则：
$$
(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ f & g\end{array}\right|=-(2 g-3 f)=a+1
$$
$$
(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1 & 3 \\ k & g\end{array}\right|=g-3 k=a-2
$$
$$
(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ k & f\end{array}\right|=-(f-2 k)=a-1
$$
于是：
$$
\left\{\begin{array}{ll}3 f-2 g=a+1 \\\ g -3 k=a-2 \\\ -f+2 k=a-1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3 f-6 k=3 a-3 \\\ -f+2 k=a-1\end{array} \Rightarrow\right.\right.
$$
$$
\begin{cases}
& f-2 k=a-1 \\
& 2 k-f=a-1
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
a-1=0 \Rightarrow a=1.
$$