线性相关的向量组内各个向量不一定都能互相线性表出（线性表示）

一、前言

线性相关的向量组内各个向量一定都能互相线性表出吗？不一定哦！

二、正文

首先，向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$, $\cdots$, $\alpha_{n}$ 线性表出（或者说“线性表示”）的定义是：

存在一组数 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $\cdots$, $k_{n}$, 使得下式成立：

$$
\beta = k_{1} \alpha_{1} + k_{2} \alpha_{2} + k_{3} \alpha_{3} + \cdots + k_{n} \alpha_{n}
$$

注意：在线性表出的定义中，$k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $\cdots$, $k_{n}$ 是可以全为 $0$ 的。

而判断向量组 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$, $\cdots$, $\alpha_{n}$ 线性相关的定义是：

存在一组不全为零的数 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $\cdots$, $k_{n}$, 使得下式成立：

$$
k_{1} \alpha_{1} + k_{2} \alpha_{2} + k_{3} \alpha_{3} + \cdots + k_{n} \alpha_{n} = 0.
$$

注意：在线性相关的定义中，$k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $\cdots$, $k_{n}$ 是不可以全为 $0$ 的。

同时：

1. 零向量和任何向量都是线性相关的，但非零向量不能由零向量线性表出；
2. 单个零向量是线性相关的；
3. 单个非零向量是线性无关的。

由于向量组线性相关等价于向量组中至少存在一个向量可由其余的向量线性表出，因此，线性相关的向量组内各个向量不一定都能互相线性表出。

例如，有向量 $(1, 0, 0)^{\top}$, $(0, 1, 0)^{\top}$ 和 $(0,0,0)^{\top}$, 这三个向量是线性相关的，例如：

$$
0 \cdot (1, 0, 0)^{\top} + 0 \cdot (0, 1, 0)^{\top} + 2 \cdot (0,0,0)^{\top} = 0
$$

但是，这三个向量并不是任意一个都可以由另外两个线性表出的，例如，$(1, 0, 0)^{\top}$ 就不能由 $(0, 1, 0)^{\top}$ 和 $(0,0,0)^{\top}$ 线性表出。

但是，如果在三个线性相关的向量中，我们已经确定了其中两个向量是线性无关的，例如，向量 $(1, 0, 0)^{\top}$ 和 $(0, 1, 0)^{\top}$ 就是线性无关的，此时，我们就能确定，另外一个向量一定可由这两个线性无关的向量线性表出：

$$
0 \cdot (1, 0, 0)^{\top} + 0 \cdot (0, 1, 0)^{\top} = (0,0,0)^{\top}
$$

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