求这个矩阵的 5 次方？可不能真的直接乘 5 次哦

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{llll}1& 1& 0& 0\\ 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$, 则 ${\mathit{A}}^5=?$

难度评级：

二、解析

本题用到的基础知识：

1. 《矩阵 n 次幂的三大计算公式》

由题可知：

$$A^5={\left[\begin{array}{llll}1& 1& 0& 0\\ 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]}^5.$$

若令：

$$B=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$$

$$C=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$$

则：

$$A^5={\left[\begin{array}{llll}{B}^5& & 0& 0\\ & & 0& 0\\ 0& 0& & \\ 0& 0& & C^5\end{array}\right]}^5.$$

又：

$$r\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]\Rightarrow 1\Rightarrow$$

$${\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]}^5=(1+2{)}^{5-1}\cdot \left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]=$$

$$3^4\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{3}^4& 3^4\\ 2\cdot 3^4& 2\cdot 3^4\end{array}\right].$$

且：

$${\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]}^5\Rightarrow \left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 2^5\end{array}\right].$$

综上可知：

$$A^5=\left[\begin{array}{cccc}{3}^4& 3^4& 0& 0\\ 2\cdot 3^4& 2\cdot 3^4& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2^5\end{array}\right]$$

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