arcsin(sin x) 一定等于 x 吗？不一定哦！

一、前言

首先，我们要明确，使得 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 成立是有前提条件的，这个前提条件就是：

$$x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

下面我们就详细讨论一下为什么会这样。

难度评级：

二、正文

为什么在 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 中需要满足 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$——

因为，只有当 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 时，才会有：

$$\sin x\in (-1,1)$$

进而，从 $y=\arcsin t$ 的图像（如图 01）中可以看到，变量 $t$ 只能在 $(-1,1)$ 区间上取值：

这也就意味着 $y=\arcsin (\sin x)$ 中 $\sin x$ 也只能在 $(-1,1)$ 区间上取值，对应的 $\sin x$ 中 $x$ 的取值范围就是 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, 如图 02 所示：

那么，当 $\arcsin (\sin x)$ 中 $x$ 的取值不属于 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 时，该怎么办呢？

办法就是利用三角函数的周期性做等价代换。

例如：

$$\sin (\pi –x)=\sin x$$

那么，当 $x\in (\frac{3\pi }{4},\pi )$ $\notin$ $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 时，由于：

$$x\in (\frac{3\pi }{4},\pi )\Rightarrow \pi –x=(\frac{\pi }{4},0)\Rightarrow$$

$$(\frac{\pi }{4},0)\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

因此：当 $x\in (\frac{3\pi }{4},\pi )$ 时，有：

$$\arcsin (\sin x)=\arcsin [\sin (\pi –x)]=\pi –x.$$

总的来说，产生上面这个问题的核心原因就是 $\sin x$ 的值域大于 $\arcsin x$ 的定义域，因此，在 $\arcsin (\sin x)$ 中，我们需要考虑 $\sin x$ 输出的值是否满足 $\arcsin x$ 的定义域。

在这里，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）还想补充一点：由于 $\arcsin x$ 的值域是被 $\sin x$ 的定义域完全“包起来”的，因此，一般情况下，无论 $x$ 的取值是多少，都有：

$$\sin (\arcsin x)=x$$

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