arcsin(sin x) 一定等于 x 吗？不一定哦！

一、前言

首先，我们要明确，使得 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 成立是有前提条件的，这个前提条件就是：

$$
x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
$$

下面我们就详细讨论一下为什么会这样。

难度评级：

二、正文

为什么在 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 中需要满足 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$——

因为，只有当 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，才会有：

$$
\sin x \in (-1, 1)
$$

进而，从 $y = \arcsin t$ 的图像（如图 01）中可以看到，变量 $t$ 只能在 $(-1, 1)$ 区间上取值：

这也就意味着 $y = \arcsin (\sin x)$ 中 $\sin x$ 也只能在 $(-1, 1)$ 区间上取值，对应的 $\sin x$ 中 $x$ 的取值范围就是 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, 如图 02 所示：

那么，当 $\arcsin (\sin x)$ 中 $x$ 的取值不属于 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，该怎么办呢？

办法就是利用三角函数的周期性做等价代换。

例如：

$$
\sin (\pi – x) = \sin x
$$

那么，当 $x \in (\frac{3 \pi}{4}, \pi)$ $\notin$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，由于：

$$
x \in (\frac{3 \pi}{4}, \pi) \Rightarrow \pi – x = (\frac{\pi}{4}, 0) \Rightarrow
$$

$$
(\frac{\pi}{4}, 0) \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
$$

因此：当 $x \in (\frac{3 \pi}{4}, \pi)$ 时，有：

$$
\arcsin (\sin x) = \arcsin [\sin (\pi – x)] = \pi – x.
$$

总的来说，产生上面这个问题的核心原因就是 $\sin x$ 的值域大于 $\arcsin x$ 的定义域，因此，在 $\arcsin (\sin x)$ 中，我们需要考虑 $\sin x$ 输出的值是否满足 $\arcsin x$ 的定义域。

在这里，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）还想补充一点：由于 $\arcsin x$ 的值域是被 $\sin x$ 的定义域完全“包起来”的，因此，一般情况下，无论 $x$ 的取值是多少，都有：

$$
\sin (\arcsin x) = x
$$

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