arcsin(sin x) 一定等于 x 吗?不一定哦!

一、前言 前言 - 荒原之梦

首先,我们要明确,使得 arcsin(sinx) = x 成立是有前提条件的,这个前提条件就是:

x(π2,π2)

下面我们就详细讨论一下为什么会这样。

难度评级:

二、正文 正文 - 荒原之梦

为什么在 arcsin(sinx) = x 中需要满足 x(π2,π2)——

因为,只有当 x(π2,π2) 时,才会有:

sinx(1,1)

进而,从 y=arcsint 的图像(如图 01)中可以看到,变量 t 只能在 (1,1) 区间上取值:

arcsin(sin x) 一定等于 x 吗?不一定哦!| 荒原之梦
图 01.

这也就意味着 y=arcsin(sinx)sinx 也只能在 (1,1) 区间上取值,对应的 sinxx 的取值范围就是 x(π2,π2), 如图 02 所示:

arcsin(sin x) 一定等于 x 吗?不一定哦!| 荒原之梦
图 02.

那么,当 arcsin(sinx)x 的取值不属于 (π2,π2) 时,该怎么办呢?

办法就是利用三角函数的周期性做等价代换。

例如:

sin(πx)=sinx

那么,当 x(3π4,π) (π2,π2) 时,由于:

x(3π4,π)πx=(π4,0)

(π4,0)(π2,π2)

因此:当 x(3π4,π) 时,有:

arcsin(sinx)=arcsin[sin(πx)]=πx.

总的来说,产生上面这个问题的核心原因就是 sinx 的值域大于 arcsinx 的定义域,因此,在 arcsin(sinx) 中,我们需要考虑 sinx 输出的值是否满足 arcsinx 的定义域。

在这里,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)还想补充一点:由于 arcsinx 的值域是被 sinx 的定义域完全“包起来”的,因此,一般情况下,无论 x 的取值是多少,都有:

sin(arcsinx)=x


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