四大微分中值定理汇总：费罗拉西

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将以实用为目的，尽可能简洁的表述出考研数学中要求的四种微分中值定理（因此，可能会导致某些表述不够严谨）。

二、正文

注意：本文中的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均具有在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导的性质。

1. 费马引理

简要定义：

$$
f(x) \leq f(x_{0}) \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) = 0.
$$

$$
f(x) \geq f(x_{0}) \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) = 0.
$$

解释：

可导函数的极值点（邻域内的最大值或者最小值点）一定是驻点（一阶导函数值等于零的点）。

2. 罗尔定理

简要定义：

如果 $f(a) = f(b)$, 则一定存在 $c \in (a, b)$, 使得下式成立：

$$
f^{\prime} (c) = 0.
$$

解释：

只要函数图像 180 度拐弯，一定会产生水平切线。

图示：

用法：

出现一个函数两个点处函数值相等时，考虑用罗尔定理。

3. 拉格朗日中值定理

简要定义：

存在 $c \in (a, b)$, 使得下式成立：

$$
\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = f^{\prime}(c).
$$

解释：

在函数两点之间一定可以找到一点，使得该点处切线的斜率和这两点之间连线的斜率相等。

图示：

用法：

出现一个函数在不同点的函数值之差的时候用拉格朗日中值定理。

4. 柯西中值定理

简要定义：

存在 $c \in (a, b)$, 使得下式成立：

$$
\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} = \frac{f^{\prime} (c)}{g ^{\prime}(c)}.
$$

解释：

拉来两个“拉格朗日”可以组成一个“柯西”：

$$
\begin{cases}
& \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = f^{\prime}(c) \\
& \frac{g(b) – g(a)}{b – a} = g^{\prime}(c)
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\frac{f(b) – f(a)}{b – a} \times \frac{b – a}{g(b) – g(a)} = \frac{f^{\prime} (c)}{g ^{\prime}(c)} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} = \frac{f^{\prime} (c)}{g ^{\prime}(c)}.
$$

用法：

出现两个函数在两个点处函数值之差的时候考虑用柯西中值定理。

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