求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分” 一、题目 已知 ∫0+∞f(x)dx 收敛, f(x) = 11+x2 − e−x1+ex∫0+∞f(x)dx, 则 ∫0+∞f(x)dx=? 难度评级： 二、解析 积分收敛，就意味着该积分有一个确切的值，因此，令（A 为常数）： ∫0+∞f(x) dx=A. 则： f(x)=11+x2−e−x1+ex∫0+∞f(x) dx⇒ ∫0+∞f(x) dx=∫0+∞11+x2 dx− ∫0+∞[e−x1+ex∫0+∞f(x) dx] dx⇒ A=arctanx|0+∞−A∫0+∞e−x1+ex dx⇒ A=π2−A∫0+∞e−x1+ex dx. 又： 接下来的计算过程可以参考这篇文章：《考研数学解题思路积累：和 ex 有关的那些式子》 ∫0+∞e−x1+ex dx=∫0+∞1ex(1+ex) dx= ∫0+∞(1ex−11+ex) dx= ∫0+∞1ex dx−∫0+∞11+ex dx= −e−x|0+∞+ln(1+e−x)|0+∞= −(0−1)+(0−ln2)=1−ln2. 于是： A=π2−A∫0+∞e−x1+ex dx⇒ A=π2−A(1−ln2)⇒ A(2−ln2)=π2⇒ A=π2(2−ln2) 相关文章： 三种方法解一道数列极限题 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性 2017年考研数二第18题解析：导数、函数极值、单调性 2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导 2018年考研数二第09题解析 遇高幂就降幂：∫ 2+x(1+x2)2 dx 反三角函数 arctan 的常用特殊值（A004） 用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目 求解一点处的导数时，不一定要用定义法 2018年考研数二第17题解析：摆线、二重积分转二次积分、三角函数 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解 两种方法去根号：分子有理化或整体代换 空间区域的形心公式（B007） 2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法) 处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算，还可以尝试积分运算 2017年考研数二第21题解析：不定积分、分离变量、直线方程 对 ∫ f(arctanx)1+x2 dx 凑微分的计算方法（B006） [高数]有关变限积分求导的几种形式 第三类无穷限的反常积分：∫−∞+∞ f(x) dx（B007） 二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号 反常积分 ∫0∞ 1(1+x)x dx 的计算方法 2014年考研数二第19题解析：变上限积分、函数的单调性、积分中值定理 空间区域的质心公式（B007）
