由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑

一、题目

已知 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并满足 $g(\frac{a+b}{2}+x)$ $=$ $-g(\frac{a+b}{2}-x)$ $(\mathrm{\forall }x\in [0,\frac{b-a}{2}])$, ${\int }_0^{\frac{b–a}{2}}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t$ $=$ $A$, 则 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

先把要求解的未知式 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 往已知式 ${\int }_0^{\frac{b–a}{2}}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t$ $=$ $A$ 凑，于是：

$$x=\frac{a+b}{2}+t\Rightarrow x\in (a,b)\Rightarrow$$

$$\frac{a+b}{2}+t\in (a,b)\Rightarrow t\in (\frac{a-b}{2},\frac{b-a}{2})\Rightarrow$$

$$t\in (-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2})\Rightarrow$$

$${\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_{-\frac{b-a}{2}}^{\frac{b-a}{2}}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$${\int }_{-\frac{b-a}{2}}^{0}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{\frac{b-a}{2}}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_{-\frac{b-a}{2}}^{0}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t+A\Rightarrow$$

$$t=-s\Rightarrow s\in (\frac{b-a}{2},0),\mathrm{d}t=-\mathrm{d}s\Rightarrow$$

$$(-1){\int }_{\frac{b-a}{2}}^{0}g(\frac{a+b}{2}-s)\mathrm{d}s+A=$$

$${\int }_0^{\frac{b-a}{2}}g(\frac{a+b}{2}-s)\mathrm{d}s+A\Rightarrow$$

$$(-1){\int }_0^{\frac{b-a}{2}}g(\frac{a+b}{2}+s)\mathrm{d}s+A=-A+A=0.$$

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