与积分变量无关的变量都视作常数处理

一、题目

已知 $f (x)$ 为已知的连续函数, $t > 0, s > 0$ 均与积分变量 $x$ 无关, 则积分 $\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f (\frac{t}{s} x) d x$ 的值与 $t$ 和 $s$ 都有关吗？

难度评级：

令：

$u = \frac{t}{s} x$

则：

$x = \frac{s}{t} u, t = \frac{u s}{x}$

$d x = \frac{s}{t} d u$

$x \in (0, \frac{s}{t}) \Rightarrow$

$u \in (0, 1)$

于是：

$\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f (\frac{t}{s} x) d x \Rightarrow$

$\int_{0}^{1} \frac{u s}{x} f (u) \cdot \frac{s}{t} d u \Rightarrow$

$\int_{0}^{1} \frac{t x \cdot s}{s \cdot x} \cdot \frac{s}{t} f (u) d u \Rightarrow$

$\int_{0}^{1} s f (u) d u .$

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