与积分变量无关的变量都视作常数处理

一、题目

已知 $f(x)$ 为已知的连续函数, $t>0, s>0$ 均与积分变量 $x$ 无关, 则积分 $\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f\left(\frac{t}{s} x\right) \mathrm{d} x$ 的值与 $t$ 和 $s$ 都有关吗？

难度评级：

二、解析

令：

$$
u=\frac{t}{s} x
$$

则：

$$
x=\frac{s}{t} u, \quad t=\frac{u s}{x}
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\frac{s}{t} \mathrm{~ d} u
$$

$$
x \in\left(0, \frac{s}{t}\right) \Rightarrow
$$

$$
u \in (0, 1)
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f\left(\frac{t}{s} x\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{u s}{x} f(u) \cdot \frac{s}{t} \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{t x \cdot s}{s \cdot x} \cdot \frac{s}{t} f(u) \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} s f(u) \mathrm{~ d} u.
$$

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