不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）

一、题目

设 $F(x)$ $=$ ${\int }_0^x(x-2t)f(x-t)\mathrm{d}t,f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论？

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二、解析

令：

$$k=x-t$$

则：

$$t=x-k\Rightarrow \mathrm{d}t=-\mathrm{d}k$$

又：

$$t\in (0,x)\Rightarrow$$

$$k\in (x,0)$$

于是：

$$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(x-t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$F(x)=-{\int }_x^0(x-2x+2k)f(k)\mathrm{d}k\Rightarrow$$

$$F(x)={\int }_0^x(2k-x)f(k)\mathrm{d}k\Rightarrow$$

$$F(x)=2{\int }_0^{x}kf(k)\mathrm{d}k-x{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k$$

进而：

$$F^{\prime }(x)=2xf(x)-{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k-xf(x)\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=xf(x)-{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k$$

继续：

$$F^{\prime \prime }(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)-f(x)=x{f}^{\prime }(x)$$

又：

$$f^{\prime }(x)<0\Rightarrow \{\begin{array}{ll}& x<0\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)>0;\\ & x>0\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)<0.\end{array}$$

从上面的结果中，我们可以得出如下结论：

曲线 $y=F(x)$ 在点 $(0,0)$ 的左侧是凹的, 右侧是凸的。

又：

$$F^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0$$

$$x=0\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)=0$$

由于函数 $y=F(x)$ 在点 $x=0$ 的左右两侧二阶导数值刚好相反，因此，$x=0$ 是拐点，而不是极值点，函数在该点处既不取得极大值，也不取得极小值。

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