不是所有一阶导等于零的点都是极值点:也可能是拐点(函数凹凸性发生改变的点)

一、题目题目 - 荒原之梦

F(x) = 0x(x2t)f(xt)dt,f(x) 可导且 f(x) < 0. 则可以得出关于函数 F(x) 的极值和凹凸性上的哪些结论?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

令:

k=xt

则:

t=xk dt= dk

又:

t(0,x)

k(x,0)

于是:

F(x)=0x(x2t)f(xt) dt

F(x)=x0(x2x+2k)f(k) dk

F(x)=0x(2kx)f(k) dk

F(x)=20xkf(k) dkx0xf(k) dk

进而:

F(x)=2xf(x)0xf(k) dkxf(x)

F(x)=xf(x)0xf(k) dk

继续:

F(x)=f(x)+xf(x)f(x)=xf(x)

又:

f(x)<0{x<0F(x)>0;x>0F(x)<0.

从上面的结果中,我们可以得出如下结论:

曲线 y=F(x) 在点 (0,0) 的左侧是凹的, 右侧是凸的。

又:

F(x)=0x=0

x=0F(x)=0

由于函数 y=F(x) 在点 x=0 的左右两侧二阶导数值刚好相反,因此,x=0 是拐点,而不是极值点,函数在该点处既不取得极大值,也不取得极小值。


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