一、题目
令 $x=\mathrm{e}^{t}$, 则,方程 $a x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+b x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+c y=0$ 可以转换为什么?
难度评级:
二、解析
由题知:
$$
x=e^{t} \Rightarrow t=\ln x \Rightarrow t(x)=\ln x.
$$
且可知:
- $y$ 是 $t$ 的函数;
- $t$ 是 $x$ 的函数。
$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{x}
$$
$$
\frac{d^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{d}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{x}\right)=
$$
$$
\frac{d}{\mathrm{~d} x} \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{x}+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{d}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{1}{x}\right)=
$$
$$
\frac{d}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x} \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{x}+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot\left(\frac{-1}{x^{2}}\right)=
$$
$$
\frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x} \cdot\left(\frac{d \cdot}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}\right) \cdot \frac{1}{x}+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot\left(\frac{-1}{x^{2}}\right)=
$$
$$
\frac{1}{x^{2}} \frac{d^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}.
$$
于是:
$$
a x^{2} \frac{d^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+b x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+c y=0 \Rightarrow
$$
$$
a x^{2}\left(\frac{1}{x^{2}} \frac{d^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}\right)+b x\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{x}\right)+c y=0 \Rightarrow
$$
$$
a \frac{d^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}-a \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+b \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+c y=0 \Rightarrow
$$
$$
a \frac{d^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}+(b-a) \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+c y=0
$$
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