二重嵌套变限积分的求导：积分时由内向外进行，求导时由外向内进行

一、题目

已知 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{y^{2}} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime \prime}(x)= ?$

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二、解析

由于外层积分的积分变量是 $y$, 因此进行变限积分求导运算时，要用外层积分上下限中的 $x$ 代替内层积分积分上下限中的 $y$:

$$
F^{\prime}(x)=\int_{0}^{x^{2}} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime \prime}(x)=2 x \cdot \frac{\sin x^{2}}{1+x^{4}}
$$

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