求解一点处的导数时,不一定要用定义法

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

f(x)={arctanxx,x0,1,x=0,

f(x) = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

x0 时(按照求导公式,直接计算即可):

f(x)=11+x2xarctanxx2

f(x)=x(1+x2)arctanxx2(1+x2).

x=0 时(使用导数的定义求解一点处的导数):

f(0)=limx0f(x)f(0)x0

f(0)=limx0arctanxx1x

f(0)=limx0arctanxxx2

f(0)=limx011+x212x

f(0)=limx011x22x(1+x2)=limx0x22x=0

综上可知:

f(x)={x(1+x2)arctanxx2(1+x2),x00,x=0

x=0 时还有一种解法,那就是使用导数存在的条件进行求解(函数在该点处连续,且左导数等于右导数):

limx0f(x)=limx0arctanxx=limx0xx=1=f(0)

从上面的计算结果可知,函数 f(x)x=0 处连续。

又已知:

f(x)=x(1+x2)arctanxx2(1+x2)

于是:

limx0f(x)=limx0x(1+x2)arctanxx2(1+x2)=

limx0xarctanxx2arctanxx2+x4=

limx0xarctanxx2arctanxx2=

limx0111+x22xarctanxx21+x22x=

limx0x21+x22xarctanxx21+x22x=

limx02xarctanx2x=limx02x22x=0

即:

f(0+)=f(0)f(0)

于是:

f(0)=0.


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