求解一点处的导数时,不一定要用定义法 一、题目 已知: f(x)={arctanxx,x≠0,1,x=0, 则 f′(x) = ? 难度评级: 二、解析 当 x≠0 时(按照求导公式,直接计算即可): f′(x)=11+x2⋅x−arctanxx2⇒ f′(x)=x−(1+x2)arctanxx2(1+x2). 当 x=0 时(使用导数的定义求解一点处的导数): f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x−0⇒ f′(0)=limx→0arctanxx−1x⇒ f′(0)=limx→0arctanx−xx2⇒ f′(0)=limx→011+x2−12x⇒ f′(0)=limx→01−1−x22x(1+x2)=limx→0−x22x=0 综上可知: f′(x)={x−(1+x2)arctanxx2(1+x2),x≠00,x=0 当 x=0 时还有一种解法,那就是使用导数存在的条件进行求解(函数在该点处连续,且左导数等于右导数): limx→0f(x)=limx→0arctanxx=limx→0xx=1=f(0) 从上面的计算结果可知,函数 f(x) 在 x=0 处连续。 又已知: f′(x)=x−(1+x2)arctanxx2(1+x2)⇒ 于是: limx→0f′(x)=limx→0x−(1+x2)arctanxx2(1+x2)= limx→0x−arctanx−x2arctanxx2+x4= limx→0x−arctanx−x2arctanxx2= limx→01−11+x2−2xarctanx−x21+x22x= limx→0x21+x2−2xarctanx−x21+x22x= limx→0−2xarctanx2x=limx→0−2x22x=0 即: f′(0+)=f′(0−)⇒f′(0) 于是: f′(0)=0. 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 用偏微分的定义计算全微分的特值问题(一) 分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算 做了这道题你会对全微分有更深入的理解 用偏微分的定义计算全微分的特值问题(二) 通过二元复合函数判断一元函数的极值点条件 行列式的可拆分性(C001) 三种方法解一道数列极限题 应用洛必达法则的三点注意事项 常用的极限两原则:拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换 判断二元函数的极值 求解二元隐函数的极值 极值存在的充分条件:判别公式中的 A, B, C 都是多少?(B013) 三元隐函数的复合函数求导法则(B012) 求三阶微分方程 y′′′ + y′′ − y′ − y = 0 满足指定初值的特解 y∗ 极限的加法运算法则(B001) 极限的减法运算法则(B001) 极限的乘法运算法则(B001) 三元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 空间曲线在 xOy 平面上的投影曲线的方程(B011) 空间曲线在 yOz 平面上的投影曲线的方程(B011) 空间曲线在 zOx 平面上的投影曲线的方程(B011) 求二阶偏导的小技巧:复用一阶偏导的部分结果 对于周期函数而言,再细微的差别也不能忽略:无穷小是很小,但不是不存在 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 要求解三次及以上导数时可以尝试使用泰勒公式