对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变

一、题目

若函数 $f(x)$ $=$ ${\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$, $x>0$, 则 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ $=$ $?$

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二、解析

方法 1：先求导再积分

$$F(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t+{\int }_1^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$$

$$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(\frac{-1}{x^2}\right)\Rightarrow$$

注意：这里在对变限积分求导的时候可以直接进行，不需要对 $1+x$ 做变量替换，原因可以参考下面两篇文章：

1. 有关变限积分求导的几种形式
2. 什么情况下可以把 x 看作常数

$$F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{1+x}+\frac{\ln \frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\left(\frac{-1}{x^2}\right)\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{1+x}+\frac{\ln x^{-1}}{-x^2\left(\frac{x+1}{x}\right)}\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{1+x}+\frac{\ln x}{x(1+x)}\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{x\ln x+\ln x}{x(1+x)}$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x}\Rightarrow$$

$$F(x)={\int }_1^x{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t={\int }_1^x\frac{\ln t}{t}\mathrm{d}t={\frac{1}{2}{\ln }^{2}t|}_1^x=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x.$$

注意：$F(x)\ne \int F^{\prime }(t)\mathrm{d}t$.

方法 2：把不一样的凑成一样的

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^{\frac{1}{x}}\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

为了将 $f(\frac{1}{x})$ 的上下限变得和 $f(x)$ 一样，所以，令 $t=\frac{1}{u}$, 则：

$$u=\frac{1}{t},\mathrm{d}t=\frac{-1}{u^2}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$t\in (1,\frac{1}{x})\Rightarrow u\in (1,x)\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln \frac{1}{u}}{1+\frac{1}{u}}\left(\frac{-1}{u^2}\right)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{-\ln u^{-1}}{u^2\left(\frac{u+1}{u}\right)}\mathrm{d}u={\int }_1^x\frac{\ln u}{u(u+1)}\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\ln u\cdot \frac{1}{u(u+1)}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\ln u\cdot (\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1})\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u-{\int }_1^x\frac{\ln u}{u+1}\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$u=t\Rightarrow$$

$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln t}{t}\mathrm{d}t-{\int }_1^x\frac{\ln t}{t+1}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln t}{t+1}\mathrm{d}t+{\int }_1^x\frac{\ln t}{t}\mathrm{d}t-{\int }_1^x\frac{\ln t}{t+1}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_1^x\frac{\ln t}{t}\mathrm{d}t={\frac{1}{2}\ln {}^{2}t|}_1^x=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$$

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